逻辑、策略与经典模型 · S班
把每一列写成等式，让进位把各列连起来。
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A、B、C 是三个互不相同的十进制数字，相同字母代表同一数字；BB、ACC 是通常写法的两位数和三位数，A、B 都不能为零。找出所有解。BB 表示 11B，不是 B²。
固定同一道题，依次分析百位、十位、个位，再整体核验。
第1步 / 共5步：先对齐数位
A 在第一个加数中是个位，在结果中是百位。数位不同，贡献不同。
对应左侧 A＋BB＝ACC
个位进位记 c₁，十位进位记 c₂；两者都只能取 0 或 1。
所有动态结果只用于本题。静态完整推导与其他结构变式见下文。
学习目标：把横式转为竖式；确定每一列进位的范围；联立多列约束；区分求到一解与找全所有解。必要前置是十进制位值、整数等式、奇偶性与简单分类讨论。
在十进制加法中，10 个一换成 1 个十，10 个十换成 1 个百。因此某一列的两个数字为 x、y，从右边传入进位 c，结果数字为 z，向左传出进位 k，就有：
对两个加数，最右列没有传入进位，取 c=0；最大和为18，因此 k∈{0,1}。之后每列至多9+9+1=19，仍只有0或1。不是每列必进1，也不能漏掉传入进位。
个位式乘1，十位式乘10，百位式乘100，再相加。每次向左进的10倍进位，恰好与下一列传入的同一进位抵消，剩下的就是按位值展开的原横式。例如本题三式为 A+B=C+10c₁，B+c₁=C+10c₂，c₂=A。代入合并就得到 A+11B=100A+11C。
反过来，一个正确的十进制加法必有这些余数和商，所以逐列关系既是必要约束，也是完整核验的一部分；再加字母取值、互异与首位条件，才是合法解。
求 A＋BB＝ACC 的所有解。A、B、C 为互异数字，A、B 非零。
0 可以在多位数内部或末尾出现。C=0 合法，不能把“首位不能零”误写成“任何字母不能零”。
求 ABA＋ABA＝BCB 的所有解。A、B、C 为三个互异数字；A、B 非零；结果恰为三位数，不允许额外千位。
若只逐一试数字，也能碰到答案，但难证明找全。先消去进位，把9种首位压缩为2种，才能清楚交代完整性。
以下例题与练习均为本页自拟或重新编排的教学题，S班表示项目教学深度，不代表已核实的机构课纲。
AB＋BA＝CDC，已知 C=1、D=2、A<B。A、B、C、D互不相同，A、B非零。求所有解。
结果是121。个位 A+B=1+10c₁；两位数相加成三位数，向百位进1。十位 A+B+c₁=2+10。两式相减得 c₁=1，再得 A+B=11。
从 A<B、两者1至9，得到候选(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)。其中(2,9)与D=2重复，必须排除。
因此共有三组：38+83=121，47+74=121，56+65=121。各组1、2与两个未知数字均互异；A<B已去掉左右交换产生的重复解。
AB＋AB＝1C2，已知 A=8，C为偶数。A、B、C互不相同，AB为两位数。固定写出的1和2不额外占用字母数字。求AB和C。
个位 2B=2+10c₁。c₁=0时B=1；c₁=1时B=6。十位2×8+c₁=C+10，所以C=6+c₁。
C为偶数，故c₁=0，得到B=1、C=6、AB=81。核验81+81=162，8、1、6互异，首位8非零。另一分支86+86=172虽然算术正确，但C=7不是偶数。
题中“固定写出的1和2不额外占用字母数字”是必要说明；若另规定所有固定数字也不得与任何字母重复，B=1会被排除，题目就无解。
A、B、C互异，A、B、C都非零；求是否有解。
两位数之和最多198，CCC是三位重复数，只能为111，即C=1。个位A+B=1+10c₁，因为A+B≥2，故c₁=1、A+B=11。十位却要求A+B+1=1+10=11，即A+B=10，矛盾。因此无解，不能为凑答案随意改一个进位。
对齐数位 → 定义进位与范围 → 从最受限的列入手 → 将约束传到相邻列 → 列完分支 → 核验横式、互异、首位与解的完整性。
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用字母代表数字：A加BB等于ACC。相同字母相同，不同字母不同，首位不能是零。
先把数位对齐。个位的A加B，等于C加十倍的进位。两数相加，每次进位只能是零或一。
结果有三位，而加数最多两位。百位的A只能来自十位进位，所以A等于一。
十位的B加上个位进位，要达到十。最大也只是九加一，所以B是九，个位进位是一，C是零。
回到个位，一加九等于十，写零进一。十位九加一，也写零进一，得到一百。
完整代回：一加九十九等于一百。三个数字互不相同，首位不为零，这才算核验完成。
换看ABA加ABA等于BCB。个位二倍A等于B加十倍进位；百位二倍A加进位等于B。
两式相减，迫使两个进位都是零。于是B是二倍A，C是四倍A。
A非零，C不超过九，所以A只能是一或二。得到一百二十一加自己等于二百四十二，或二百四十二加自己等于四百八十四。
进位提供约束，却不保证唯一解。最后要逐列核对，检查数字互异、首位非零，并说明是否找全。
本页只讨论十进制整数加法。格子表示数位、单位点表示该列的计数单位，箭头表示把十个当前单位换成一个高位单位。演示不能替代逐列推导。数学依据为十进制位值和整数除法，本页给出自足推导与枚举核对，不冒充外部课程书证。