例题一｜8厘米单月牙
条件与上方问题一致。求 L 的面积。
- BD²=8²+8²=128平方厘米；半圆H面积为16π平方厘米。
- 90°扇形Q面积=π×8²÷4=16π平方厘米，所以Q=H。
- 共同减去弓形U，L=T=8×8÷2=32平方厘米。
若AB=AD=6厘米，其余构造相同，则L=6×6÷2=18平方厘米。相似比3/4，面积比9/16，32×9/16=18，结果相符。
平面几何 · 面积方法
S班知识点目录 ↗
曲线阴影的等量替换
先证明两个整体等积，再减去同一块曲边区域。
视频暂时无法加载，仍可阅读正文与分章文字稿，或下载MP4。
01
一个月牙，为什么能换成三角形？
自拟问题：△ABD 在 A 处为直角，AB=AD=8厘米。以 A 为圆心、AB 为半径，从 B 到 D 作四分之一圆弧；以 BD 为直径，在直线 BD 的另一侧（不含 A 的一侧）作半圆。求两条弧之间绿色月牙 L 的面积。
第1步 / 共4步：认清边界。
绿色 L 是月牙；棕色 U 是四分之一圆弧与弦 BD 围成的弓形；淡绿色 T 是三角形 ABD。
当前8厘米单月牙模型
32 平方厘米
曲边消去，留下直边面积
Q=H，Q=T+U，H=L+U。
两边减去 U，得到 L=T。
图只帮助定位区域，等积依据在下方证明；月牙与三角形并不全等。
02
学习目标与前置知识
学会为曲边区域命名、证明两个整体等积，并用面积可加性消去公共部分。S班进阶是把单月牙推广到一般直角三角形的双月牙；A/S为本项目教学深度编排，不代表已核实的当地课纲。
主线前置：三角形面积、正方形面积、圆与半圆面积、90°扇形面积，以及等腰直角三角形的两个锐角各为45°。下面用四块三角形拼图推出斜边平方关系，无需先学勾股定理，也不必计算含根号的斜边长度。双月牙例题与练习二为进阶选学；其中一般直角三角形的平方关系另附割补推导，圆周角与坐标证明只作严谨性补充。
03
为什么成立：先等积，再同时相减
设 AB=AD=a>0，BD=c。T、U、L在本页始终表示图中的同一类区域，Q为四分之一圆扇形ABD，H为BD外侧半圆。
先用四块拼图，求出斜边正方形的面积
取四个与△ABD完全相同的纸片，把它们的直角顶点都放在同一点O，沿O依次排满一周。四个直角合起来是360°；每条从O伸出的边都长a，相邻纸片沿整条直角边贴合，内部不重叠、不留空隙。
拼图的四条外边都是原三角形的斜边c。每个外侧顶点由两个45°拼成90°，所以外轮廓是边长c的正方形。它的面积既是c²，也是四个三角形的面积和：
c² = 4 × (a × a ÷ 2) = 2a²
这条关系由面积割补得到。a=8时，c²=4×32=128；不需要先求c是多少。
再用整体等积，消去同一弓形
- 由上面的四块拼图，c²=2a²。
- 以直径c表示半圆面积：H=½π(c/2)²=πc²/8=πa²/4。扇形Q的圆心角90°、半径a，因此Q=πa²/4。故H=Q。
- 弓形U是弦BD与四分之一圆弧围成的那一块，位于BD不含A的一侧，也完整位于半圆H内。因此两整体中的U确为同一块，可以同时减去。严格的包含性核对放在下方进阶补充；主线先记清“相减的块要相同且被包含”，不能凭同色就认定等积。
- 两个整体分解为 Q=T+U，H=L+U；各分块仅边界相接，边界面积为零。于是 Q−U=H−U，得到 T=L。
- 所以月牙面积 L=a²/2。这里不需要先求U，也不需要用3.14近似π。
进阶证明补充（选学）：圆周角与坐标核对U的包含关系
本补充用于核对严格边界，不是主线阅读的必备前置。若已学圆周角：在四分之一圆弧BD上取非端点P，∠BPD=135°，大于90°，所以P位于以BD为直径的圆盘内；结合弦BD和圆盘的凸性，整个弓形U也在内。以下再用坐标作独立核对。
令 A=(0,0)，B=(a,0)，D=(0,a)。U中的点满足 x≥0、y≥0、x+y≥a、x²+y²≤a²。以BD为直径的圆盘满足 (x−a/2)²+(y−a/2)²≤a²/2，即 x²+y²≤a(x+y)。由于 x²+y²≤a²≤a(x+y)，U全部在该圆盘中，又位于BD外侧，因此U在H中。这里的坐标只作集合包含证明，正文主线仍是面积消去。
04
完整例题与结构变式
例题二（进阶选学）｜两条直角边不同，改求双月牙
△ABC在C处为直角，AC=6厘米、BC=8厘米、AB=10厘米。以AB为直径，在含C一侧作大半圆；C在大半圆弧上。分别以AC、BC为直径，在三角形外侧作小半圆。每个小半圆在大半圆外的部分为一个月牙，记L₁、L₂。求两个互不重叠月牙的面积和。
- 大半圆被三角形和两块弓形U₁、U₂分割：H=T+U₁+U₂。U₁、U₂分别位于边AC、BC外侧且在大半圆内。
- 各弓形完整包含于相应小半圆（严格理由见本例下方进阶补充）。各小半圆分别由月牙与弓形组成：H₁=L₁+U₁，H₂=L₂+U₂。
- 三个半圆面积都用直径平方乘π/8：H₁+H₂=π(6²+8²)/8=100π/8=H。
- 代入分解并消去U₁+U₂，得L₁+L₂=T=6×8÷2=24平方厘米。
结构变了：一般直角三角形只保证“两个月牙的和”等于三角形面积；没有证明每个月牙都等于半个三角形。本例不能据此认定每个是12平方厘米。
进阶选学：一般平方关系的割补证明，以及弓形包含性
取四个全等的直角三角形，两直角边长b、d，斜边长c。在边长b+d的大正方形四角各放一块，让直角贴住大正方形的角；每条外边由一段b和一段d接成。四条斜边围成中间空白：它们都长c，每个内角都是180°减去原三角形的两个锐角，即90°，所以空白是边长c的正方形。
同一大正方形的面积为 (b+d)²=4×bd/2+c²。展开得 b²+2bd+d²=2bd+c²，双方减去2bd，得到b²+d²=c²。这是一般勾股关系的面积割补证明。
圆周角补充（需先学圆周角定理）：C在直径AB的圆上，因为∠ACB=90°。在大圆的劣弧AC上取非端点P，∠APC=180°−∠ABC>90°，故P在直径AC的圆盘内；整个对应弓形也在该圆盘内。BC同理。这保证了本例分块时，没有把小半圆之外的区域也拿来相减。
一般式：若两直角边为b、d，斜边为c，由上面的割补关系b²+d²=c²，双月牙面积和为bd/2。月牙分别位于两直角边的三角形外侧，彼此不重叠。
05
迁移练习
以下均为本页自拟教学题，先写出等积依据，再计算。
练习一｜改变尺度
沿用例题一的单月牙构造，AB=AD=10厘米。求月牙面积；与8厘米模型的面积比是多少？
展开完整解析
H与Q的面积都为25π平方厘米，减去同一U，L=T=10×10÷2=50平方厘米。面积比50:32=25:16，也等于边长比5:4的平方。不能按边长比直接乘面积。
练习二（进阶选学）｜双月牙不能平均分
沿用例题二的双月牙构造，两直角边5厘米、12厘米，斜边13厘米。求月牙面积和。能否直接说每个15平方厘米？
展开完整解析
5²+12²=13²，因此两小半圆面积和等于大半圆。减去两块对应弓形，双月牙面积和=5×12÷2=30平方厘米。推导只确定和，不确定各自相等；本例两直角边不同，没有对称性依据，不能直接平分为15平方厘米。
06
反例、易错与回顾
不等的直角边，不能照搬单月牙
若AB=6、AD=8，在A处为直角，则以BD为直径的半圆面积为25π/2；若仍拿半径6的四分之一圆比较，其面积为9π，两者相差7π/2，根本不等积。而且半径6的圆弧不会通过距离A为8的D，所谓同一弓形也不存在。原构造已被破坏，不能画一条类似曲线就把月牙换成24。
- 整体相等要有计算依据：半圆面积与直径平方成正比，不能直接与直径成正比。
- 相减部分要逐一对应：同一块U可直接消去；不同位置的块必须另证等积。外观相似或同色不构成证明。
- 面积相等不等于形状全等：月牙和三角形等积，不代表可通过平移或旋转重合。
- 检查半圆方向：换到直线另一侧会改变区域分解，不能沿用同一个L。
- 保留精确量：能在式中消去π，就不必提前取近似值。
解题顺序：准确说明圆心、半径与方向 → 为区域命名 → 证明整体等积 → 核对分块与包含关系 → 同时减去 → 求直边图形面积。
07
逐章回看
文字稿默认可见。点击标题可定位到视频对应时刻；正文中的割补证明可独立阅读。
等腰直角三角形，两条直角边都是八厘米。以直角顶点为圆心，画四分之一圆，再以斜边为直径向外画半圆。
斜边的平方是八的平方加八的平方。半圆面积是圆周率乘斜边平方除以八，恰好等于四分之一圆面积。
两条弧和同一条斜边围出公共弓形。四分之一圆，是三角形加弓形；半圆，是月牙加同一块弓形。
两个整体面积相等，减去同一块弓形，剩下的月牙与三角形就等面积。八乘八除以二，得到三十二平方厘米。
把两条直角边都改成六厘米，构造不变。月牙仍然等于三角形，面积是十八平方厘米。等面积不表示形状全等。
若两条直角边不同，便不能照搬这个单月牙结论。先证明整体相等，再确认减去同一部分，才允许等量替换。