最大公因数与最小公倍数

18个青球、30个黄球，分成尽可能多的相同小组。每组的青球数分别相同、黄球数分别相同；每组两类都有，全部分完且不剩。最多几组，每组各几个？再比较两盏灯每6秒、8秒闪一次时，同起点与错位起点有什么不同。

本页只讨论正整数。S班表示本项目的教学深度，含和差筛选与周期起点分析；不是已核实的官方分班或学期课纲。例题与练习均为自拟教学题。

先说清“公”的含义

能同时整除正整数a、b的正整数，是它们的公因数；其中最大的记为g=gcd(a,b)。能同时被a、b整除的正整数，是它们的公倍数；其中最小的记为L=lcm(a,b)。1总是公因数，ab总是公倍数，因此二者都存在。

质因数分解的唯一性告诉我们：若a里质数p出现α次，b里出现β次，公因数里的p不能超过任一边，即最多出现min(α,β)次；公倍数里的p至少满足两边，即最少出现max(α,β)次。没出现的质数指数视为0。

例如18=2×3²，30=2×3×5。共有部分是2×3=6；覆盖两边需2×3²×5=90。求共有部分时，缺失的5指数为0，所以不能把5放进去。

两个数的乘积关系与互质结构

每种质数都有min(α,β)+max(α,β)=α+β，把所有质数的幂相乘便得：

令a=gx、b=gy。若x、y还有公因数d>1，那么gd也同时整除a、b，与g最大矛盾，故x与y互质。由乘积关系得L=gxy。于是：

先列出xy的因数对，筛去不互质的，再使用和或差。以上只针对两个正整数。三数不可直接照搬：2、3、6的最大公因数是1，最小公倍数是6，二者乘积6并不等于三数乘积36。

分组、拼接与周期各用什么？

分成k组且两类均分尽，必须18/k和30/k都是整数，所以k为公因数；最多组数是最大公因数。每组人数尽可能多的同类问题，若每组规格相同且分别分尽，也要先明确究竟求组数还是每组个数。

同起点、每6秒与8秒闪的灯，同闪时刻必须同时是6、8的倍数，第一次再次同闪在24秒。若B从2秒开始，条件改成t=6m=2+8n（m、n为非负整数），就不能直接说第一次为24秒。

若t₁、t₂都是两灯的重合时刻，那么t₂−t₁同时是6、8的倍数；而从任一重合时刻再加24秒一定再次重合。因此找到首次合法重合后，相邻重合间隔为24秒。起点影响首次，周期决定间隔。

• 不能把“最大公因数”当“最小那个数”。6和10的最大公因数是2；只有一数整除另一数时，最大公因数才等于较小数。
• 最小公倍数不总是乘积。18×30=540，而最小公倍数90；只有互质两数的最小公倍数才等于乘积。
• 把g提完必须互质。若a=gx、b=gy但x、y不互质，g就不是最大公因数。
• 1也参与边界。gcd(1,n)=1，lcm(1,n)=n；两数相等时，最大公因数与最小公倍数都等于该数。
• 余量不能省略。“分完无剩余”才对应整除；有剩余要按题意先处理余数。
• 先看起点、再看周期。“首次”“再次”“间隔”三个词不能混用。

解题路线：明确正整数与整除条件 → 分解质因数 → 公因数取小、公倍数取大 → 提取共同尺度并核对互质 → 用和差或起点筛选 → 代回全部条件。

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