计数与概率方法 · 有限枚举

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有序枚举法

给每个答案一个唯一的位置，再把每个位置的合法情况列完。

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01

从一行到整张表

从1、2、3、4、5、6中选两个不同的数，要求和不超过7。只看选中哪些数，交换位置不另算。共有多少种？先把每对记成 (a,b)，其中 a<b。

第1步 / 共5步：先规定标准

只保留 a<b。依次固定 a=1、2、3，逐行列 b；还要说明何时可以停止。

当前演示：二数配对

0 种已列

先定标准，再开始计数

交换位置不另算，所以规范为较小数在前。最终需列完所有合法行，并证明没有后续行。

“有序”指有规则地枚举，不表示题目一定区分先后。三数模式有自己的完整条件与结果。

02

为什么这些行不重不漏

学习目标：把题目的“同一种”标准转为唯一表示，建立列表或树状图，给每一层规定取值范围，并证明停止边界。前置知识是正整数、大小关系、简单不等式、加法与乘法计数；三数变式还需要用总和确定余数。

S班是本项目的深度编排，不是已核实的当地官方课纲。例题和练习均为自拟教学题。本页讨论有限整数对象，未讨论无限集合或连续取值。

四件事缺一不可

  1. 定对象：选中的数能重复吗？交换顺序算不算新答案？例如“选两个数”与“排成两个位置”是两个计数问题。
  2. 定唯一表示：无序且不同的二数写成 a<b；无序且允许重复的三数写成 a≤b≤c。相同对象的不同写法被归为一个规范写法。
  3. 逐层定范围：先固定 a，再逐个列合法的 b；若还有 c，尽可能由条件唯一确定。每层列表的次序可选，但所有合法取值必须出现。
  4. 证归属与停止：每个合法对象都有一个规范写法，只归一个分支；每个分支内部穷尽合法取值。越过边界后需证明不可能，不凭“看起来没有了”停止。

列表和树状图是同一种结构

一行可看作树的一条一级分支：先选 a，再沿分支选 b，必要时继续选 c。每条从起点到末端的完整路径表示一个答案。分支内部逐个计数；不同且互斥的分支之间相加。不能把各层可选数直接相乘，除非每个前缀都确实有相同数量的后续选择。

03

两道完整例题

例题一 · 不同二数，和有上限

从1至6选两个不同数，和不超过7，交换不另算

  1. 规范为 a<b，且 a、b 都是1至6中的整数，a+b≤7。
  2. 固定 a 后，b 至少 a+1，至多是6与7−a中的较小者。因此每行范围是 a+1≤b≤min(6,7−a)；若下界超过上界，本行为空。
完整列表
a合法的 (a,b)种数
1(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)5
2(2,3)、(2,4)、(2,5)3
3(3,4)1

若 a≥4，因为 b≥a+1≥5，和至少为9，超过7，后面的行全部为空。所以答案是 5+3+1=9种。

不重：一对数的较小数唯一，同一行的 b 又各不相同。不漏：任意合法一对按大小排列后，都落入上面相应行的完整 b 范围。两点合在一起才构成完备性说明。

例题二 · S班结构变式：允许重复的三数

三个正整数的和为12，允许相等，不计次序，共有多少组？

写成 a≤b≤c。因为 a 是最小数，3a≤12，所以 a=1、2、3、4。固定 a 后，c=12−a−b；由 b≤c 得2b≤12−a。因此 b 从 a 起，列到 (12−a)÷2 的整数部分。

每行列完合法中间数，最大数由总和确定
ab的范围全部 (a,b,c)种数
11至5(1,1,10)、(1,2,9)、(1,3,8)、(1,4,7)、(1,5,6)5
22至5(2,2,8)、(2,3,7)、(2,4,6)、(2,5,5)4
33至4(3,3,6)、(3,4,5)2
44(4,4,4)1

共 5+4+2+1=12组。a≥5 时三数和至少15，故停止。每组数排序后的三元组唯一；固定 a、b 后 c 唯一。上面的上下界既保证正整数和为12，也保证从小到大，所以没有多列或少列。

如果三个位置区分顺序，答案为何不是12×6？

全不相等的有7组，每组有3×2×1=6种排列；恰有两个相等的有4组：(1,1,10)、(2,2,8)、(2,5,5)、(3,3,6)，每组只需确定那个不同数的位置，有3种；全相等的 (4,4,4) 只有1种。

7×6+4×3+1=55种

独立核对：若按有顺序的第一个数 x 分类，x=1至10，后两个正整数的有序分法依次为10、9、…、1，共55种。相同元素交换不会得到新排列，不能统一乘6。

04

迁移练习

练习一 · 扩大范围，重做停止条件

从1至8选两个不同的数，和不超过9，交换位置不另算。有多少种？如果改为两个有顺序的位置，仍要求两个数不同，又有多少种？

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无序时规范为 a<b。a=1：b=2至8，有7种；a=2：b=3至7，有5种；a=3：b=4至6，有3种；a=4：只有b=5，有1种。a≥5时，最小和5+6=11>9，故停止。

无序共 7+5+3+1=16种。两个数始终不同，所以每对有两种次序，共 16×2=32种。这一倍乘成立的依据是每组都含两个不同数，不能不查条件便推广到有重复的情况。

练习二 · 允许相等，分拆总和10

三个正整数的和为10，允许相等，不计次序，有多少组？若区分三个位置，结果是多少？

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令 a≤b≤c。3a≤10，所以 a=1、2、3。a=1时，b=1至4：(1,1,8)、(1,2,7)、(1,3,6)、(1,4,5)，4组；a=2时，b=2至4：(2,2,6)、(2,3,5)、(2,4,4)，3组；a=3时，b=3：(3,3,4)，1组。共 4+3+1=8组。

四组全不同，四组恰有两个相等，没有全相等组（10不是3的倍数）。区分位置时共 4×6+4×3=36种。独立核对：第一个数从1到8，后两个正整数分别有8、7、…、1种有序分法，总计36。

05

反例、易错与回顾

回顾：对象是否相同 → 规范写法 → 每层范围 → 完整列举 → 唯一归属 → 停止证明 → 按题意汇总。检查的是整套枚举结构，而不只是列表看起来整齐。

06

逐章回看

文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。

从一到六，选两个不同的数，和不超过七。交换位置不另算一种。

把每对写成小数在前。先固定一，搭配二到六，共五种。

再固定二，搭配三、四、五，共三种。固定三，只能搭配四。

较小数至少是四时，最小的一对四和五也超过七。因此停止，共九种。

为什么不重不漏？每对都有唯一的较小数，只进一行；每行又列完所有合法的较大数。

换成三个正整数，和为十二，允许重复且不计次序。写成从小到大。

先固定最小数，再固定中间数，最大数由总和确定。四行分别有五、四、二、一种，共十二种。

如果次序要计呢？三个数全不同，有六种排列；恰有两个相等只有三种；全相等只有一种。

有序枚举的关键，不是只列几个例子，而是规定归类规则、取值范围和停止条件。