比例法解行程
先找同一量，再把不同阶段接成同一套份数。
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01
为什么速度减半，不能直接把路程也减半？
甲乙从同一起点沿同一路线同时出发，到同一终点同时到达。乙全程匀速。甲最初速度与乙的速度比是4∶3，途中甲速度减半，此后保持不变，没有停留。问：甲减速时已经走了全程的几分之几？
第1步 / 共5步：先明确共同条件
原题：同起点、同终点，同时出发同时到达。乙速不变；甲仅改变一次速度，无停留。
原题 · 当前步骤
先找同量
同时到达，只保证总用时相等
前、后两段是否等时，必须由题目继续推导，不能直接假设。
演示中同一行的等长格使用同一路程单位；车辆标记只表示阶段端点。变式切换后会重置步骤。速度份与路程份单位不同。
02
学习准备
学习目标
- 每次写比例都指出固定的是同一时间、同一路程还是同一速度。
- 用领先量与追平量连接分段行程，统一时间份与路程份。
- 区分等路程和等时间两种变速，正确求平均速度。
必要前置
会用路程＝速度×时间，会化简比与计算分数，理解“速度差×共同时间＝路程差”。速度单位和时间单位须匹配，如千米/时与小时。
S班为本项目的教学深度编排，不代表已核实的当地官方课程；例题与练习均为自拟理想行程题。
03
三种固定条件，不能只背“正比、反比”
记路程为 s、速度为 v、用时为 t。在一个速度恒定的阶段内 s＝vt；以下比中的速度与用时均为正数。
写比例时，把固定条件写在旁边| 固定条件 | 推出的比例 | 解释与例子 |
|---|
| 同一时间 t | s₁∶s₂＝v₁∶v₂ | 相同的2小时，速度60和40千米/时，路程120∶80＝3∶2。 |
| 同一路程 s | t₁∶t₂＝v₂∶v₁ | 同走120千米，速度60和40千米/时，用时2∶3。 |
| 同一速度 v | s₁∶s₂＝t₁∶t₂ | 都以40千米/时走2小时和3小时，路程80∶120＝2∶3。 |
为什么成立？
同时间时，s₁/s₂＝v₁t/(v₂t)＝v₁/v₂，约掉的是同一个 t。同路程时，t₁/t₂＝(s/v₁)/(s/v₂)＝v₂/v₁，约掉同一个 s。同速度时同理，约掉同一个 v。没有共同因子，就不能这样约掉。
S班关键：阶段之间靠“连接量”衔接
两车在每一阶段的时间窗口相同，所以可以在该阶段比较路程与速度。可是甲自己的前段与后段用时未必相同。应先找连接量：同终点同时到达意味着“前段多走的路程＝后段少走的路程”。
(甲前速 − 乙速)×t₁ ＝ (乙速 − 甲后速)×t₂
在甲前快后慢、乙全程匀速且没有停留的模型中，上式给出 t₁∶t₂＝(乙速−甲后速)∶(甲前速−乙速)。再分别乘甲的阶段速度，得到甲的前后段路程比。时间份相加得总时间，路程份相加得总路程；两类份数不能混加。
04
完整例题：统一份数与结构变式
例题一｜减速前走了多少？
条件与上方原题相同：甲乙同起点沿同一路线同时出发，同时到达同一终点。乙速恒定，甲前速∶乙速＝4∶3，甲途中速度减半，此后不变；两车都不停留。求甲减速时已行路程占全程的比例。
- 统一速度份。设共同速度单位为 u（u>0），甲前速4u、后速2u、乙速3u。前段用时 t₁，后段 t₂。
- 找连接量。前段甲领先 (4u−3u)t₁＝ut₁；后段乙追平 (3u−2u)t₂＝ut₂。同起点同终点给出 ut₁＝ut₂，因此 t₁＝t₂。
- 再统一路程。取这段共同时间为 T，甲前后路程为4uT与2uT，所以前段占4/(4＋2)＝2/3。
- 回代核查。令 u＝15千米/时、T＝1小时，甲先60后30千米，共90千米；乙两小时走45×2＝90千米。甲在60/90＝2/3处变速。
这不是说所有“减速一半”的题目前段都占2/3。结论还依赖甲原速与乙速4∶3，以及同时到达等完整条件。
变式｜速度差不相等，怎么办？
其余共同条件不变，把甲前速∶乙速改为5∶4，甲后速降至原来的2/5。因此速度依次为甲5u、乙4u、甲后2u。前段领先 ut₁，后段追平2ut₂，故 t₁∶t₂＝2∶1。甲路程比为(5×2)∶(2×1)＝10∶2＝5∶1，前段占5/6。乙两段路程8∶4，总计12份，也与甲10＋2吻合。
例题二｜等路程变速，平均速度为什么不是50？
一辆车从A到B，前半路程速度60千米/时，后半路程速度40千米/时，阶段内匀速，无停留；全程共5小时。求全程与平均速度。
- 固定的是路程。两段路程相等，速度比3∶2，所以时间比2∶3。
- 还原时间。5小时共5份，每份1小时；前段2小时、后段3小时。
- 核对等路程。前段60×2＝120千米，后段40×3＝120千米，全程240千米。
- 求平均速度。总路程÷总时间＝240÷5＝48千米/时，不是(60＋40)÷2＝50。
一般地，两段等路程、速度为正数 a、b，平均速度为 2ab/(a＋b)。若两段等时间且无其他时间，才是(a＋b)/2。平均速度总是先用总路程除以总时间。
05
迁移练习
练习一｜改变两段的速度差
甲乙同起点沿同一路线同时出发，并同时到达同一终点，全程不停留。乙匀速；甲前速∶乙速＝6∶5，甲途中降为原速的一半，此后速度不变。甲在全程的几分之几处减速？
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统一速度为甲前6u、乙5u、甲后3u。前段领先 ut₁，后段追回2ut₂，故 t₁∶t₂＝2∶1。甲两段路程比(6×2)∶(3×1)＝12∶3＝4∶1，所以在4/5处减速。
回代：取 u＝10千米/时，t₁＝2小时，t₂＝1小时。甲行120＋30＝150千米；乙行50×3＝150千米，120/150＝4/5。不能将6∶3直接当作前后路程比。
练习二｜同路程反比与同速度正比组合
一辆车从A到B，前半路程以30千米/时、后半路程以60千米/时行驶，无停留，全程6小时。另一辆车全程匀速40千米/时，走同一路程。第二辆车需要多少小时？
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第一辆车两段等路程，所以用时比为60∶30＝2∶1，总计6小时，前段4小时、后段2小时。每半程30×4＝60×2＝120千米，全程240千米。
第二辆车用时240÷40＝6小时。第一辆车平均速度也为240÷6＝40千米/时，不能把30与60平均成45。若第二辆车改以40千米/时只行120千米，在同速度条件下，路程减半，用时也减半为3小时。
06
边界反例与回顾
| 错误推断 | 反例或修正 |
|---|
| 甲两段速度4∶2，路程必为4∶2。 | 若两段用时1∶3，路程是4∶6＝2∶3。必须先证等时。 |
| 速度比2∶3，时间比必为3∶2。 | 只在同路程下成立。若同走2小时，时间比就是1∶1。 |
| 同到达，所以两车任一段路程也相同。 | 原题第一段甲4份、乙3份；只有全程路程相同。 |
| 变速前后直接算速度平均数。 | 等时间才可平均；等路程60和40的平均速度是48。 |
| 时间份与路程份可以直接相加。 | 份数须带单位。速度份×同一时间份才能成为可相加的路程份。 |
解题顺序：画出阶段 → 标出每个阶段的速度和共同时间 → 找固定量 → 写比例及依据 → 用领先、追平或总量连接阶段 → 统一份数 → 回代原条件。
零速度对应停留，应分开处理，不能使用需要除以零速度的反比式；没有给出固定条件时，先列 s＝vt，不强行选比例。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击标题，定位到视频中的对应讲解。
路程等于速度乘时间。同时间，路程比等于速度比；同路程，时间比与速度比相反。
甲乙同起点，同时出发到同一终点，并同时到达。甲最初速度是乙的三分之四，后来减半，乙速不变。
设乙速三份，甲前速四份。同一前段时间内，甲每单位时间比乙多走一份，积累领先路程。
甲减半后速度两份，乙仍是三份。后段甲每单位时间少走一份。一起到达，说明这段恰好追平原来的领先。
领先和追平的路程相同，速度差也相同，所以两段用时相等。这才可以把甲的两段路程写成四比二。
统一全程为六份。甲先走四份，再走两份；乙两段各走三份。甲减速时，已走全程的三分之二。
不能看到速度四比二，就直接写路程四比二。比例的固定条件必须先证明；不同阶段，要先找连接量。
08
学习与图示说明
本页依据 s＝vt 和分数运算逐步推导，例题与练习均为自拟，未使用真实车辆数据。理想模型省略加减速耗时、交通与休息；图中的车辆标记无尺寸意义。
本页重点是同时间、同路程、同速度及多阶段统一比例量，不覆盖相遇、追及的全部题型。下载视频 · 下载完整离线包