比例与应用 · 方法讲解
统一份数，保留共同尺度；只求比值时，让尺度自行消去。
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具体问题：甲、乙、丙是正数，甲∶乙=2∶3，乙∶丙=4∶5。求 (甲＋丙)∶(乙＋丙)。两个条件中的乙是同一个量，两个“1份”却可能不同。
分步演示 · 与例题一相同
第1步 / 共5步：先保留两组单位
不能直接拼成2∶3∶5：两处乙的份数3与4还没对齐。
到第3步可看共同缩放。线段长度随 k 同步变化；每小段表示 k 个数量单位。正数模型允许任何 k>0，这里只抽查三个值。
本题演示结论
23∶27
两个乙都统一为12份，三量写成8k、12k、15k。分子与分母同乘 k，目标比值不变。
例如 k=1 为8、12、15；k=2 为16、24、30。两组实际数都满足条件，并给出同一个目标比。
比的基本性质、分数四则运算、乘法分配律、等式两边同乘非零数。字母 k 表示同一个公共尺度，不是给每个量各设一个任意数。
S班是本项目的教学深度安排，不代表已核实的官方分班或六上课纲。例题与练习均为自拟教学题。
本页所有原始量都是正数。若 A∶B=a∶b，其中 a、b>0，则 A/B=a/b。令 k=B/b>0，就有 B=bk、A=ak。反过来，任意 k>0 都使 (ak)/(bk)=a/b。这两个方向说明：设 A=ak、B=bk，既没有漏解，也没有加入不满足比例的正数解。
若 A∶B=a∶b，B∶C=c∶d，a、b、c、d均为正数，那么第一组整体乘 c，第二组整体乘 b，得到 A∶B=ac∶bc、B∶C=bc∶bd，于是：
乘积法总能统一公共量；份数是整数时，可用公倍数简化，不必执着于最小公倍数。本题是8∶12∶15。对任意满足原条件的正数，令 k=B/12，则 A=(2/3)B=8k、C=(5/4)B=15k；反向代回两个比也成立。
实际量未必是8、12、15，但这是一组合法代表。若目标在三量同乘任意正数后都不变，它只由比例决定，选 k=1 算代表值便与真实结果相同。保留 k 再约去，是更清楚的合法性证明：
这里“设而不求”指不必求 k 就可求目标量。它是本方法的一种目标策略；不能把所有消元、方程技巧都统称为比例设数法。
例题一 · 统一中间量
甲、乙、丙均为同单位正数。
独立核对：选 k=2，甲16、乙24、丙30；原比16∶24=2∶3、24∶30=4∶5；目标46∶54=23∶27。检查一个代表值能发现算错；合法性仍来自前面的公共尺度证明。
例题二 · S班结构变式：比例中含有和
回代核查：(B＋C)/(A＋C)=7k/6k=7/6，满足第二条件；任意 k>0 都成立。这里只求出了 C/k=3，没有求实际 C，也无需确定 k。
解题中心仍是“比例确定份数，再约掉尺度”。交叉相乘只是把含和的比例转成份数关系，不能省略分母非零和原条件回代。
下面两题中的所有量均为同单位正数。先尝试写出公共尺度，再展开解析。
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=10∶7。求 (2甲＋丙)∶(乙＋丙)。
把第一组整体乘2，得甲∶乙=6∶10。于是甲∶乙∶丙=6∶10∶7，设为6k、10k、7k（k>0）。
目标=(2×6k＋7k)∶(10k＋7k)=19k∶17k=19∶17。
核查：6/10=3/5，10/7保持原条件。2甲表示甲的两倍，只在分子将甲的份数乘2，不能把整个三量比都乘2后忘了原目标。
A∶B=5∶6，(B＋C)∶(A＋C)=9∶8。求 (B−C)∶(A＋C)。
设 A=5k、B=6k，k>0。由 (6k＋C)/(5k＋C)=9/8，得8(6k＋C)=9(5k＋C)，即48k＋8C=45k＋9C，所以 C=3k。
所求=(6k−3k)∶(5k＋3k)=3k∶8k=3∶8。因为 C=3k<6k=B，差为正，符合比的正数模型。
回代：(6k＋3k)/(5k＋3k)=9/8，原条件成立。三量实际大小仍可共同缩放，结果不受 k 影响。
另一道题：甲∶乙=2∶3，乙比甲多6，求甲和乙的实际数量。设甲=2k、乙=3k仍然合法；但3k−2k=6，所以 k=6，甲=12，乙=18。直接说“甲2、乙3”不满足差6，只能当作份数代表，不能当实际答案。
只知 A∶B=2∶3，目标 (A＋1)/(B＋1) 是否确定？这里的1是与 A、B 同单位的固定数量。取 A=2、B=3，目标为3/4；取 A=4、B=6，目标为5/7。两个结果不同，所以原比例条件不足以确定该目标。不能把固定的1也偷偷变成 k。
更一般地，先把目标写成含 k 的式子。若 k 无法约尽，就检查其他条件能否确定 k；若不能，答案通常不唯一。即使没有额外固定数，求 A＋B 这种实际总量也仍含 k。
若只给 A∶B=2∶3，完全没有 C 的关系，就不能凭空写成 A∶B∶C=2∶3∶5。可以设 A=2k、B=3k，但 C 仍是独立未知量。先检查每个目标相关量是否都已通过条件联系起来。
| 容易出错 | 检查依据 |
|---|---|
| 两个比直接拼接 | 公共量份数先对齐，比例单位才能统一。 |
| 各量各乘一个任意尺度 | 统一后的各量共享同一个 k。 |
| 份数就是实际数量 | 实际量=份数×k；实际总量或差值可能决定 k。 |
| 任意目标都能选 k=1 | 须证明共同缩放不改变目标，或在代入后约去 k。 |
| 求出比例就不查原条件 | 回代所有比例及实际量条件；检查正数、单位、分母与整数性。 |
五步自检：条件是否充分 → 共同量是否对齐 → 设数是否等价 → 目标能否消去 k → 结果是否满足全部原条件。求目标比值时，“不求实际数”是推导后的结果。
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甲乙之比二比三，乙丙之比四比五。能直接写成二、三、五吗？
不能。前一个比把乙看成三份，后一个比把乙看成四份，单位不同。
把前一组每份分成四小份，后一组每份分成三小份。
两个乙都变成十二份，甲、乙、丙统一为八、十二、十五份。
这里的八、十二、十五是份数。实际数应写成八k、十二k、十五k，k大于零。
把三条线段同时放大，各比值不变。因此设数保留了全部比例条件。
现在求甲加丙与乙加丙的比。分子合成二十三份，分母合成二十七份。
上下都有同一个非零的k，约去后就是二十三比二十七，不必求实际数量。
换一道题：甲乙之比二比三，乙比甲多六。这时能任意设成二和三吗？
不能。两条线段相差一份，这一份必须等于六，固定差锁定了尺度。
所以，先统一份数，再检查缩放是否保留条件。
若只求比值，共同尺度会消去，就可以设而不求；求实际量时仍要确定尺度。
线段只表达份数与共同尺度，不表达人物、容器或具体测量。对齐前的两组单位分别定义；对齐后才共用同一份。视频固定差反例为独立题目，与8∶12∶15主例分开。
数学依据：比的基本性质与等式变形；正文给出双向推导，例题练习为本页自拟，计算已用精确分数独立核对。A/S是本项目教学深度，不代表官方课纲。