行程模型 · 端点与相对运动
先画车头车尾的起止位置，再用位移求时间。
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一列长180米的火车，以20米/秒匀速通过420米长的直桥。从车头到达桥首开始，到车尾刚离开桥尾，共用多少秒？把车头、车尾与桥的两端都画出来。
过桥 · 第1步 / 共4步
车头在桥首0米处；车尾在−180米处。经过30秒，车尾才到桥尾420米处。
图示保留端点与水平长度关系，车体厚度不表示数值；三种演示分别从各自的计时起点开始。
左侧：180米车通过420米桥
30秒
车头从0走到600米，车尾才从−180走到420米。通过时间为600÷20=30秒。
所有坐标以地面为参照；双车演示在两条平行轨道上，忽略轨道间距对长度的影响。
路程=速度×时间、相对速度、一次方程或和差问题。单位先统一：72千米/时=72×1000÷3600=20米/秒。符号中 L 表示车长，B 表示桥长，v 表示车速，t 表示时间。
本页采用刚性线段、匀速直线运动模型，车长保持不变，桥不动。两车在平行轨道上，彼此不发生碰撞；不讨论加速、刹车、曲线与安全间隔。
S班是本项目教学深度：包含端点建模、两次同速记录反推、双车相对运动和条件不足辨析；并非已核实的官方分班课纲。题目均为自拟教学题。
把桥首记作坐标0，桥尾记作 B，列车向右行驶。从车头刚到桥首计时。t秒后车头坐标为 vt，车尾始终落后 L，因此车尾坐标为 vt−L。
整车刚好通过时，车尾到桥尾，即 vt−L=B。移项得：
同样可跟踪车尾：它从−L到 B，位移也是 B＋L。不是把两个端点的路程相加，而是跟踪同一个端点的起止位置。
| 事件 | 端点条件 | 时刻 |
|---|---|---|
| 车头上桥 | 车头坐标0 | 0秒 |
| 车尾上桥 | vt−180=0 | 9秒 |
| 车头出桥 | vt=420 | 21秒 |
| 车尾出桥 | vt−180=420 | 30秒 |
表中事件次序依赖本题 B>L。若桥短于车长，车头可能先出桥，车尾才上桥；完整通过公式仍成立。过电线杆可看作 B=0的点目标，完整通过时间是 L÷v。
同一列车分别通过长度 B₁、B₂ 的桥，两次速度相同，且两次都从车头上桥计到车尾离桥。设时间为 t₁、t₂：
两式相减得 B₂−B₁=v(t₂−t₁)。当 B₂≠B₁ 时可先求 v=(B₂−B₁)÷(t₂−t₁)，再由 L=vt₁−B₁求车长。还须检查 v>0、L>0，并回代两条原条件。桥相同、时间相同只给一条独立关系，不能唯一反推。
设甲长 L₁、乙长 L₂，速度分别为 v₁、v₂。相向时从两车头相遇计到两车尾相离；同向时从快车头追上慢车尾计到快车尾超过慢车头。两种情况的相对位移都是 L₁＋L₂，不能只用其中一辆车的长度。
t=(L₁＋L₂)÷(v₁＋v₂)
在乙车参照系中，甲车头从乙车头走到“乙车尾再向前一个甲车长”的位置。
t=(L₁＋L₂)÷(v₁−v₂)
规定甲为快车且 v₁>v₂。若从相隔 d米时计时，还需加上初始间隔 d。
用端点坐标检验相向情形：令两车头相遇处为0，甲向右、乙向左。t秒后，甲尾坐标 v₁t−L₁，乙尾坐标 L₂−v₂t。两尾齐平时 v₁t−L₁=L₂−v₂t，所以 (v₁＋v₂)t=L₁＋L₂。同向则令快车头和慢车尾最初同在0，快车尾为 v₁t−L₁，慢车头为 L₂＋v₂t，得到 (v₁−v₂)t=L₁＋L₂。相等时是完整通过的边界，紧接着便相离或超过。
例题一 · 两次过桥反推
同一列车以相同的恒定速度，完全通过300米长的桥用24秒，完全通过540米长的桥用36秒。两次都从车头到达桥首计时，到车尾刚离开桥尾结束。求车速和车长。
车长只在两条等式相减时被消去。单独计算某一次过桥，仍要加上车长。若问车头到车尾依次经过同一名静止观察者的时间，则为180÷20=9秒。
例题二 · S班结构变式：交会和超车联立
甲车长180米，乙车长120米，两车均匀速。相向行驶时，从两车头相遇到两车尾相离共10秒；保持各自速率改为同向，甲追越乙，从甲车头追上乙车尾到甲车尾超过乙车头共30秒。求两车速度。
这两段时间采用不同的起点：相向从车头对车头，同向从快车头对慢车尾。不能把同向“两个车头并排”当作本题的计时起点；那时快车已越过慢车一个车长。
同一列火车以同一恒定速度，完全通过360米的桥用28秒，完全通过600米的桥用40秒。两次计时均从车头上桥到车尾离桥。求速度、车长，以及整车通过一根静止电线杆的时间。
设车长 L米，速度 v米/秒。L＋360=28v，L＋600=40v。相减得240=12v，所以 v=20米/秒。
L=20×28−360=200米。通过电线杆，从车头经过杆到车尾经过同一根杆，只需走一个车长，时间为200÷20=10秒。
核验：(200＋360)÷20=28；(200＋600)÷20=40。不能用桥的长度除以时间作为车速。
甲长150米、速度18米/秒，乙长210米、速度12米/秒。①两车在平行轨道相向行驶，从车头相遇到完全相离需多久？②改为同向且速率不变，从甲车头刚追上乙车尾到完全超越需多久？③若②改从甲车头落后乙车尾60米时计时，总共需多久？
两车长之和150＋210=360米。①相向速度和18＋12=30米/秒，时间360÷30=12秒。
②同向速度差18−12=6米/秒，时间360÷6=60秒。③多了60米初始间隔，相对位移为60＋360=420米，时间420÷6=70秒。
初始间隔属于相对路程，只加一次。也可算先追近60÷6=10秒，再完整超车60秒，合计70秒。
解题顺序：画起止端点 → 选择同一端点或相对运动 → 写真实位移 → 统一单位 → 求时间或联立反推 → 回代所有原条件。
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一列长一百八十米的火车，匀速每秒二十米。过四百二十米的桥，从车头上桥计时，到车尾离桥结束。
车头到桥尾，只走了四百二十米，用二十一秒。此时车尾还在桥上，整列火车没有通过。
还要再走一个车长，车尾才离桥。车头共走六百米，除以每秒二十米，得到三十秒。
反过来，同一列车以相同速度过三百米桥用二十四秒，过五百四十米桥用三十六秒，计时边界相同。
两次路程都含同一个车长。相减，二百四十米对应十二秒，速度是每秒二十米；车长是二十乘二十四减三百，得一百八十米。
甲车长一百八十米，乙车长一百二十米，速度分别为每秒二十米和十米。在平行轨道上相向交会。
从车头相遇到车尾相离，两车相对移动三百米。相向每秒接近三十米，所以完全交会用十秒。
若改为同向，从快车头追上慢车尾，到快车尾超过慢车头，相对位移仍是三百米，速度差是十，完全超车用三十秒。
记住，先画起止端点，再求相对位移。反推车长要核对两次同速；同向等速时，不能完成超车。
数学依据为正文列出的端点坐标与相对运动推导，题目均自拟。动画视列车为长度固定的线段，同一场景水平长度统一缩放，桥墩、厚度与轨道间距为示意。播放进度压缩真实运动时间，不代表列车真实运动速率。