数论与整数方法 · S班
先保留一列候选，再加条件筛选；每次用最小公倍数更新步长。
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一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。求最小值。先从2、5、8、11……出发，保留符合下一条条件的数。
除以3余2的数：2、5、8、11、14、17……。每次加3，第一条条件始终成立。
对应左侧当前模式与当前步骤
2 + 3k
除以3余2，全部非负候选为2+3k。
这里 k 为非负整数。数牌展示候选的次序，间距不代表跨模式的统一数值比例。
整数除法、倍数、最大公因数与最小公倍数。标准余数 r 满足0≤r<m，其中 m 为正整数除数。
同余（congruence）记号 x≡r（mod m）表示 x 除以 m 余 r，也等价于 m 整除 x−r。本页用候选数列解题，无需先学同余运算公式。
本页是S班深度的方法单元，含非互质与三条件合并；S班为项目教学编排，不声称属于本地官方六上必学内容。题目均为自拟教学题。
x除以m余r，等价于 x=r+mk，其中 k 是整数。求非负解时可用标准代表0≤r<m及 k≥0；若题目只要正整数，r=0时必须从k=1开始。
设此前条件的全部整数解为 x=r+Lk，新条件是除以m余a。只需检查这一列，而不是从1重新枚举。两条保留项之差既是 L 的倍数，又是 m 的倍数，所以合并后的最小正步长是最小公倍数 lcm(L,m)。
反过来，从某个共同解加上lcm(L,m)，必然同时保留两边条件。任意其他共同解与它的差也必是该公倍数的整数倍，因此这列既不漏解，也没有额外的解。
令 d=gcd(L,m) 为最大公因数。若有共同解，则 x−r 是L的倍数，x−a 是m的倍数，两式相减得到a−r必须能被d整除。
相容的充分性：当d整除a−r，写a−r=dq。贝祖等式（Bézout's identity）保证存在整数u、v使uL+vm=d；乘以q，得到L(uq)+m(vq)=a−r。因此选k=uq就能使r+Lk与a同余，确实有共同解。对初学者，可用下面的有限筛选代替求u、v。
依次检查 r、r+L、……、r+L(m/d−1)。这些候选对m的余数恰好覆盖与r模d同余的各类，所以恰有一项命中a。
无需无限试数。若d不能整除a−r，任何整数k都无法让两条条件同时成立。
为什么最多检查m/d项？将L、m同时除以d后互质。如果两项在模m下余数相同，m/d必须整除它们的下标差；前m/d个下标之差不足m/d，故不会重复。相容的余数类也恰有m/d个。
新步长 = lcm(L,m) = L × m ÷ gcd(L,m)
合并后把起点减去新步长的整数倍，整理到0≤r′<新步长，再加入下一条条件。
一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。求最小正整数，并写出全部正整数解。
一个正整数，除以6余4，除以8余6，除以9余1。求最小值和全部正整数解。
正整数x除以4余1，除以6余3，除以5余4。求最小值及全部正整数解。
gcd(4,6)=2，3−1=2能被2整除。由1、5、9……筛出9，新步长lcm(4,6)=12，得到9+12t。9除以5恰余4，第三条直接命中，更新步长为lcm(12,5)=60。因此x=9+60s（s≥0为整数），最小9。核验9=4×2+1=6×1+3=5×1+4；向前减60为负数。
x满足例题一的三条余数条件，且100≤x≤500。求所有x和解的个数。
由例一，x=23+105s，s≥0为整数。s=0时23太小；s=1、2、3、4对应128、233、338、443，均在范围内；s=5时548超过500。数列严格递增，故恰有4个，不是把100至500之间每个数再试一遍。
正整数x除以6和8都余0。最小正整数是多少？
标准非负代表是0，合并步长lcm(6,8)=24。全部非负解为0、24、48……；题目要求正整数，因此最小正解是24，不能答0。
“除以6余4”表示x=6k+4，必为偶数；“除以8余3”表示x=8t+3，必为奇数。一个整数不能既奇又偶，故无解。一般检验也得到gcd(6,8)=2不能整除3−4=−1。
流程：标准余数 → 一列候选 → 检查公因数相容性 → 有限筛选首项 → 用最小公倍数更新步长 → 继续合并 → 按正数与范围筛解 → 逐条验算。
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一个正整数，除以三余二，除以五余三，除以七余二。怎样找最小值？
先列满足第一条的数：二、五、八、十一。每次加三，余数就不会改变。
只在这列数里筛选除以五余三的数，留下八、二十三、三十八。
两条条件合并后，每次加十五。十五是三和五的最小公倍数，旧条件一起保留。
再检查除以七的余数：八不满足，二十三满足。所以最小正整数是二十三。
全部答案是二十三再加一百零五的非负整数倍。两解之差必须同时被三、五、七整除。
除数不互质时，先查相容性。例如除以六余四，除以八余六，余数差二能被公因数二整除。
候选中第一次相交在二十二，以后每隔二十四再次相交。步长是最小公倍数二十四，不能盲乘成四十八。
如果改成除以六余四、除以八余三，前者必须是偶数，后者必须是奇数，根本没有解。
记住：先检查相容，再逐步筛选。每加一条条件，就用最小公倍数更新步长，最后逐条验算。
候选数牌仅显示部分数列；省略不代表后面没有解。不同排的间距用于排版，不按统一数值比例绘制。动画展示筛选过程，完整性由正文的整除与最小公倍数论证保证。