计数与概率方法 · 方法讲解
先确认基本结果等可能，再数有利结果与全部结果。
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同时抛两枚公平且相互独立的硬币，第一枚记为甲，第二枚记为乙。求恰好一枚正面朝上的概率；再求至少一枚正面朝上的概率。公平是每枚正、反概率均为1/2；独立是知道一枚结果不会改变另一枚的概率。
第1步 / 共5步：把两枚区分开
四种有序结果不重不漏。正反与反正是不同的基本结果。
对应左侧两枚硬币模型
4种
先区分甲、乙；两个正反次序不同的结果必须分别记录。
这是确定性枚举，不是随机抽样。等大的格子表示已证明等可能的基本结果。
会约分与分数四则，会列表、树状图和乘法计数。“基本结果”是选定记录方式下不能再细分的记录；全部基本结果组成样本空间（sample space）。事件（event）是其中满足某个条件的一组结果，例如“恰好一正”包含正反、反正。
S班为本项目教学深度编排，包含样本空间设计、无序与有序转换、条件变化；不表示已核实的官方课纲。
设有限样本空间有 n 个基本结果，n 为正整数；这些结果互不重复且覆盖全部可能，每个的概率相同，记为 p。因为全部结果的概率和为1，所以 np=1，p=1/n。事件 A 包含其中 m 个结果，0≤m≤n，由互斥结果的概率相加，得到：
这里 m 是有利基本结果数，n 是全部基本结果数。“有利”只指符合题目要求，不含价值判断。概率为0表示这个有限等可能模型中没有符合结果；概率为1表示所有结果都符合。
硬币模型明确假设公平和独立：任一有序组合概率为(1/2)×(1/2)=1/4。只说每枚公平还不够：若乙永远复制甲，二者各自仍可正反各半，但只有正正、反反可能，恰好一正的概率变成0。
抽球模型则假设充分混合，每一步每个剩余球被抽到的机会相同。颜色相同的球也要先用编号区分。第一次取到某编号的概率为1/5，第二次为1/4，所以每个有序不同编号对的概率为1/20。这里不放回使两次抽取不独立，但仍可构造等可能的完整有序结果。
把四格合为“零正、一正、二正”，三类分别含1、2、1个基本结果，概率为1/4、1/2、1/4。只数三个名称，误算一正概率为1/3，丢失了每类的权重。合并后的类别只有在包含同样多个等可能基本结果时，才仍等可能。
例题一 · 有序样本空间
题目：甲、乙两枚公平硬币相互独立，同时抛一次。求①恰好一正；②至少一正；③没有正面的概率。
“至少一正”与“没有正面”虽然只有两类，但所含基本结果数为3和1，概率并不各半。
例题二 · 不放回与颜色合并
题目：袋中有3个红球、2个蓝球，球除颜色外相同。充分混合，依次随机抽出2球，不放回；每次每个剩余球被抽到的机会相同。求两球同色的概率。
无序核验：如果只记录抽出的两球而不计先后，每个无序编号对都对应恰好2个有序结果，所以仍等可能。全部为20÷2=10对，同色为6÷2＋2÷2=4对，得到4/10=2/5。分子、分母必须同时除以2。
不能把“红红、红蓝、蓝蓝”看成三种等可能结果。这三类分别有3、6、1个无序编号对。若改为抽后放回，样本空间变为25个有序编号对，同色概率为(9＋4)/25=13/25，原答案不再适用。
两枚均匀六面骰子相互独立，标为甲、乙，各掷一次。点数和为7的概率是多少？“和为2到12，共11种，因此和为7概率1/11”的判断错在哪里？
按(甲点数，乙点数)记录，全部6×6=36种，每种概率1/36。和为7有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种，因此概率6/36=1/6。
和为2只有(1,1)，概率1/36；和为7有6种，概率6/36。11个和值类别不等可能，不能直接作分母。尽管两枚实物看起来一样，仍可先按位置或颜色编号区分。
两枚公平且独立的硬币各抛一次。观察者按固定规则：当且仅当出现至少一正时告诉你“至少一正”，不随机挑选某枚展示。现在已收到这句话，恰好一正的概率是多少？
原来四种结果各为1/4。该固定报告规则排除了反反，只留下正正、正反、反正；这三种在收到报告后仍等可能。符合恰一正的是正反、反正两种，因此概率为2/3。
也可算(2/4)÷(3/4)=2/3。条件改变后分母变为3，而不是仍用4。若改成观察者随机选一枚并报告所选硬币为正，信息机制改变，不能套用这个2/3；应把选取过程一起列入基本结果。
| 错误捷径 | 正确检查 |
|---|---|
| 发生或不发生，所以各1/2 | 这是两类事件，必须比较所含基本结果的概率总和。 |
| 所有结果都列出来，就可相除 | 还需核实基本结果等可能，不能按类别名称平均。 |
| 不放回就不能用等可能模型 | 不独立不等于不等可能；完整有序编号对仍可等可能。 |
| 分子无序、分母有序 | 两者必须用同一种记录方式。 |
| 概率1/2就应每两次出现一次 | 短期频率可以偏离理论概率；概率不规定具体次序。 |
| 加入条件，只删掉有利结果 | 按信息规则更新全部结果，再重新圈出有利结果。 |
四步回顾：写清试验与信息规则 → 列不重不漏的基本结果 → 核实等可能 → 有利数除以总数。用补事件或第二种计数方式复核。
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同时抛两枚公平硬币，并假设两枚的结果相互独立。求恰好一枚正面朝上的概率。
按第一枚和第二枚记录：正正、正反、反正、反反。四种基本结果不重不漏，每种概率都是四分之一。
把恰好一正的结果圈出来：正反和反正，共两种。用有利的两种除以全部四种，得到二分之一。
如果只写零个正面、一个正面、两个正面，就只有三类。但三类包含的基本结果数是一、二、一，并不等可能。
至少一正包括正正、正反、反正，共三种，所以概率是四分之三。也可以用一减去反反的四分之一。
先问结果是否不重不漏，再问是否等可能，最后圈出有利结果。事件只有两类，不代表各占一半。
本页题目为自拟，结论由有限枚举、分数运算及明确列出的概率假设推导。硬币、骰子和抽球的公平性为模型假设，未通过真实实物试验检验。图形只编码基本结果及事件归属，不展示实测随机频率。条件概率练习仅适用于题目指定的报告规则。