等积变形与割补法

平行四边形 ABCD 的底 AB=8 厘米，高 DE=5 厘米；E 在 AB 上，AE=3 厘米。沿 DE 切下三角形 AED，向右平移 8 厘米。能得到怎样的矩形？

题设满足 0<AE<AB，故本次一刀割补适用。示意图用于说明拼合；运动中的覆盖形状不是新的面积计算对象。

适用：能把区域分成有限块，再以平移、旋转或翻转重新拼合；或把待比较图形补成等积区域，再减去共同部分。不能擅自拉伸，也不能把空洞和重叠忽略。

割补的三个依据

1. 分割完整。DE 把原平行四边形分成三角形 AED 和四边形 EBCD，内部不相交，且没有剩余区域。所以原面积等于两块面积之和。
2. 移动保持每块面积。把三角形的每一点向右移动 8 厘米，所有对应边长、角度和高保持不变，面积也不变。记 E′ 为 E 的像，A 的像正好为 B，D 的像记作 D′。
3. 拼合覆盖严密。移动后斜边 BD′ 与原边 BC 重合，即 D′=C。两块在 BC 两侧，内部不重叠；它们的外边界是 E、E′、C、D，四角都是直角，恰好填满这个矩形，既无空隙也无突出。

S原 = S保留 + S切下 = S保留 + S移入 = S矩形 = 底 × 高

这里 S 表示面积。边界线的面积为零，所以共用一条边不算“面积重叠”。本例矩形 EE′=AB=8，ED=5，面积 40 平方厘米。

同底等高，与形状相同是两回事

三角形面积为底×对应高÷2。两个三角形有相同底边，顶点在与底边平行的同一直线上，就有相同的高，因而等积。顶点移动后形状可以不同；这不属于把一整块刚性移动，而是另一个面积依据。

补同一块、减同一块

若 S(P)=S(Q)，且区域 R 同时包含在 P、Q 内，则 S(P减去R)=S(Q减去R)。分割后各部分必须覆盖各自原区域且内部不相交。只减“相似的一块”不够；本页例题减的是完全相同的公共区域。

• 同底不等于同高。底都是 8、高分别 5 和 4 的三角形，面积分别为 20 和 16，不等积。
• 面积相同不保证全等。同底等高三角形可以形状不同；不能把等积说成边长都相等。
• 拉伸不是刚性移动。底长翻倍、高不变，面积会翻倍，不能套“移动保面积”。
• 一刀割补有位置条件。例题一的垂足在底边内部。若水平偏移超过底长，这一刀未必能直接拼成矩形，应换分割方式；底×高仍成立，但不能沿用未经检查的拼图。
• 公共区域要完整且相同。梯形例题要先找等积大三角形，再减 AOB；不能只看左右图形颜色相同就断言等积。

解题顺序：标底与高 → 找辅助整体 → 列出全部分块 → 说明移动或等积依据 → 核查无重叠无遗漏 → 计算并检验单位。

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