自动扶梯模型

同一部向上匀速运行的扶梯，甲从下端到上端用60秒，自己走60级；乙同样顺行，用36秒，自己走72级。两人每次均匀速、每步前进一级，扶梯在两次测量中速度相同。求扶梯静止时的长度和运行速度。

共同条件：同一扶梯、同一固定长度、同一运行速度；各次人走的速度各自恒定，不要求不同人的步速相同。方向必须逐次明确。若扶梯变速或人在中途停走，不能直接把未知的瞬时速度套进匀速公式。

本页为项目编排的 S 班行程拓展，不代表任何机构的官方课纲。逆行仅用于数学分析，请勿在真实扶梯上逆行或奔跑实验。

设固定长度为 L>0，扶梯运行速率为 v≥0；人的步速 u>0 是相对台阶的速率。行程耗时 t>0，人自己前进 n=ut 级。n 是沿所走方向的正数量。

两人都顺行：比较同一长度

两次数据为 (n₁,t₁)、(n₂,t₂)，可列 L=n₁+vt₁=n₂+vt₂。移项得到：

若 t₁≠t₂，v=(n₂−n₁)/(t₁−t₂)。不能未经方向判断就把时间相加。求出 v 后代回任一式求 L，并检查 v≥0、L>0 及两式一致。

同人顺逆行：一个加、一个减

同一人保持相同的相对台阶步速 u，顺行 n顺 级、逆行 n逆 级，对应时间 t顺=n顺/u、t逆=n逆/u。

时间和来自移项后的两个运送项，不能凭“往返”二字死记。还可令 r=v/u，则 L=n顺(1+r)=n逆(1−r)，所以 r=(n逆−n顺)/(n逆+n顺)，L=2n顺n逆/(n顺+n逆)。只知道两次级数和同人同步速条件，可以求 L 与 v/u；没有时间或 u 的标定，不能求 v 的绝对值。

例题和练习均为自拟教学题，按连续匀速模型核对。

• 逆行 u=v：净速度为0，即使不断迈步也不能到达另一端；u<v 时被带向反方向。不能把 L/(u−v) 的负数读成“负时间到达”。
• 两次顺行时间相同：在模型条件下人走级数必须相同；相同时间却级数不同，说明数据或条件矛盾。两者都相同则只有一条独立方程，不能唯一求 L、v。
• 扶梯停运 v=0：顺行或逆行自己走的级数均等于 L；没有扶梯贡献。不同人耗时仍可不同。
• 只说同一个人不够：顺逆行若没有“相对台阶步速相同”，两次级数不能直接使用上述同速结论。
• 不能混用长度：“静止时长90级”是固定端点间等效长度，不是问扶梯整个循环链条总共有多少块踏板。
• 数据要可行：若同向模型算出 v<0，先核对方向、单位和条件，不能默默把负号去掉。

方向 → 单位 → L 的两种表示 → 消元 → 代回 → 到达条件

统一的是固定长度与扶梯速度，不是不同人的步速。顺行看叠加，逆行看抵消，先说清参照物再列式。

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