质因数分解法

求最小正整数 m，使 360m 是完全平方数。已知 360=2³×3²×5，左侧每个方块代表一个质因数，虚线槽表示缺少的因数。

学习目标：把合数分解成质因数的乘积；由指数判断整除；构造使乘积成为平方或立方的最小正整数。前置知识：整数乘除、质数、整除和乘方。S班是本项目的教学深度编排，不代表某机构官方课纲。

质数、合数、0 与 1

在正整数中，大于1且只有1和自身两个正因数的数是质数；大于1且还有其他正因数的数是合数。2是质数，4=2×2是合数。1只有一个正因数，既不是质数也不是合数。0不在这两个定义的范围，也不能写成有限个质数的乘积；不能对0使用本页的指数结构。

为什么一定能拆到质数？

若大于1的整数不是质数，就把它拆成两个都大于1且比原数小的因数。每条拆分路径上的整数严格变小，因此有限步后终止，叶子都是质数。例如 360=36×10=(2×2×3×3)×(2×5)=2³×3²×5。不能停在 4×90，也不能把1当作质因数。

唯一分解定理：任意大于1的整数都能分解为质数的乘积，除了顺序外分解唯一。因此先拆成8×45与先拆成36×10，最终每种质数出现的次数相同。1约定为空乘积，各质因数指数都是0。

用指数表达整除

把涉及的全部质数列在同一张表里，某数没有的质因数指数记为0。对于正整数a、b，a整除b，当且仅当每种质数在a中的指数都不超过在b中的指数。因为 b=a×c 时指数相加；反过来，逐项指数相减都是非负整数，就能构造正整数商c。

72=2³×3²，360=2³×3²×5，所以 72∣360，商为5。

48=2⁴×3 中2的指数4超过360中的3，所以48不整除360。只比较大小不够：48<360，但商360÷48=15/2不是整数。

平方与立方的判定为何成立？

正整数x的平方x²，把x中每种质因数指数都乘2，所以所有指数均为偶数。反过来，若所有指数都是偶数，把每个指数除以2便构造出整数平方根。立方同理：指数全部是3的倍数，当且仅当这个正整数是完全立方数。

N=∏pᵉ，Nm 为 k 次方数 ⇒ e+f 为 k 的倍数。

这里p遍历质数，e是N中p的指数，f是m中p的指数，k≥2是固定整数，∏表示相乘且只有有限项非1。每个f选择满足条件的最小非负整数，就得到最小乘数m₀。任何其他合法乘数在每个p上的指数都不小于这个最小值，所以都含有m₀作因数，数值也不小于m₀。额外引入新质数也不能降低乘数。

本页例题与练习均为自拟教学题，所有乘数均限定为正整数。

360的任意正因数d都可唯一写成 2ᵃ×3ᵇ×5ᶜ，其中 a∈{0,1,2,3}，b∈{0,1,2}，c∈{0,1}。a有4种选择、b有3种、c有2种，合计4×3×2=24个正因数。

不遗漏：由整除判定，每个因数的指数都落在这些范围内。不重复：由唯一分解，不同指数数组产生不同整数。指数全部为0时得到因数1；全部取上界时得到360。指数可独立选择是乘法原理能使用的原因。

这和“乘数补齐”是同一种眼光：把整数问题改写成每种质因数上的指数条件。一个是指数范围，一个是指数除以2或3的余数条件。

• 把分解因数当成完成质因数分解：360=4×90成立，但4和90都是合数，需继续拆分。
• 把0或1当质数：质数定义要求大于1。1可用空乘积处理，最小补数仍为1；0不能按此分解。
• 把指数相加用于加法：8×2=2³×2=2⁴，但8+2=10，质因数里多出了5。乘法结构不能直接搬到和式。
• 漏掉乘数范围：本页要求正整数。若允许m=0，乘积为0，会绕开本页的正整数构造问题；若允许分数，最小性论证也不再适用。
• 把动画当证明：配对图解释例子，所有平方数的判定要靠唯一分解及指数加倍，最小性要靠每个指数的下界。

回顾：检查正整数范围 → 分解到质数 → 用指数记录 → 写出整除或幂次条件 → 逐项构造 → 代回并证明最小。若只是求一个可行解，不要未经证明就称为最小。

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