数论与整数方法 · 拓展

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进位制

每满一组，向左进一位；位值改变，数量守恒。

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01

23个单位，在五进制里怎样写？

有23个相同的小方块，每5个打成一包。每包可以再次按5包装成更大的包。把23写成五进制，为什么是 (43)5？下标5指进制，不参与乘法。

当前任务固定：23个单位，每5个换一包。逐步观察数量守恒。

五位 · 每包5个

个位 · 每格1个

第0步：0包，23个散块。0×5+23=23。散块还没有规范到小于5。
02

位值、合法数字与适用条件

学习目标：解释进退位为何守恒，完成非负整数的有限进制互化，并用合法数字限制未知进制。必要前置：整数除法与余数、乘方、简单方程；未知进制方程属于S班拓展。

本页约定基数 b 是不小于2的整数，数码从0到 b−1。对 b≤10可直接用十进制数字符号作数码。多位数首位不能为0，数0本身写作0。

(ak…a1a0)b = akbk + … + a1b + a0

这里 ai 是第 i 位的数码，右起从 i=0开始；bi 是该位每一个单位代表的量，称为位权。比如 (104)5=1×25+0×5+4=29，零位不能省略为(14)5。

为什么进位成立：某位 b 个单位，恰好等于左一位1个单位，因为 b×bi=bi+1。退位反过来，把左位1个单位换成右位 b 个。它们只改变表示，不改变值。

退位例：(21)5−(14)5，个位1不够减4，从五位退1包：1×5+6=11；个位6−4=2，五位1−1=0，所以差是(2)5。用十进制验算11−9=2。中间的“6个一”是临时计数，不是合法五进制数码。

03

互化为何用“除基取余，倒序读”

将非负整数 N 除以 b，按带余除法唯一写成 N=bq+r，且0≤r<b。除 b 后，所有高位都含 b 因子，只有个位留下余数 r，所以第一次余数是最低位。

对商 q 重复上述过程，每一步剥掉一位，依次得到个位、b位、b²位。正整数商严格减小，最终为0；再把余数倒序读出。零单独表示为0。商余的唯一性也保证规范表示唯一。

  1. 23=5×4+3，记录个位3；
  2. 4=5×0+4，记录高位4，商为0停止；
  3. 倒序写成(43)5，展开验算4×5+3=23。

任意两种基数互化，先用位值展开为十进制，再对目标基数除基取余即可。本页只讨论整数，不把小数部分的换算混入这套停止规则。

04

完整例题：互化与未知进制

例1 · 把(11101)2化成五进制

条件：原数是二进制非负整数，目标基数5；各位0或1合法。

先展开：1×2⁴+1×2³+1×2²+0×2+1=16+8+4+1=29。

再除基：29=5×5+4，5=5×1+0，1=5×0+1。余数从低到高为4、0、1，倒序得(104)5。不能删掉中间的0；验算25+4=29，与原数一致。

例2 · 已知(23)b=17，求b

条件：17是十进制，b为整数基数。数码3要求 b>3，数码2也要小于b。

按位展开2b+3=17，所以2b=14，b=7。检查：7≥2且3<7，数码合法；代回2×7+3=17。因此唯一解是七进制。

结构变式：若右边改成十进制6，则2b+3=6给出 b=3/2。它既不是整数，也不满足 b>3，所以原条件无解，不能把方程解直接当成进制。

05

迁移练习与解析

练习1 · 四进制转六进制

把(321)4化成六进制非负整数。

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数码3、2、1都小于4，原数合法。位值展开3×16+2×4+1=57。57=6×9+3，9=6×1+3，1=6×0+1；倒序写成(133)6。验算36+18+3=57。

练习2 · 条件足够吗？

已知(100)b=49，其中49为十进制，求b；并判断“(12)2”是否为合法表示。

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(100)b=b²，故b²=49。基数是正整数且至少2，所以b=7，负根−7不合定义。数码1、0均合法，7²=49复核通过。而(12)2不合法，二进制只允许0、1，不能把数码2放进表示中。形式上算1×2+2=4不代表原写法合法；4的合法二进制表示是(100)2。

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边界、反例与回顾

解题顺序：标明基数 → 检查数码合法 → 位值展开或除基取余 → 保留零位 → 展开验算。未知基数还要检查整数性、b≥2和最大数码<b。

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逐章回看

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进位制改变的是打包规则，不是物品总数。五进制中，右起的位权是一、五、二十五。

看二十三个一。每五个换成一个五，换四次后，剩三个一，得到四个五和三个一。

所以二十三写成五进制的四三。按位展开，四乘五加三，仍是二十三。每一位的数字都必须小于五。

反过来，把二十三除以五，商四余三，余数是个位。四再除以五，商零余四，倒着读余数，得到四三。

进制未知也先按位展开。若二三的b进制等于十进制十七，就有二乘b加三等于十七，解得b等于七。

还要检查七是整数，并且大于数字三。记住，一零零的b进制是b的平方，不是十进制的一百。