计算与数列 · 方法讲解
拆成因子，让两条约分链各自接通。
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计算 (1−1/4)×(1−1/9)×(1−1/16)×(1−1/25)。四项依次对应 k=2、3、4、5；先把每项写成 (k−1)(k＋1)/k²。
分步演示：从 k＝2 到 5
同一组因子分成两条链；每按一次，检查一次结构。
(1−1/4) × (1−1/9) × (1−1/16) × (1−1/25)
共有四项；先看每项结构，不把减号两侧直接约去。
演示结论
3/5
只能约乘法中的非零因子。
不能跨加减直接约分；两条链要各自数清因子的出现次数，再保留两端。
S班 · 方法单元
先把每项拆成因子，再寻找贯穿整串的约分链。
两链分解首尾与重数S班为本项目的教学深度编排，不代表当地或机构官方课纲。
会分数乘法、约分、乘法交换律和结合律，知道平方表示两个相同数相乘。无需预先背诵平方差公式。
本页的“从 k＝a 到 b 连乘”表示：把 k 依次取整数 a、a＋1、…、b 后得到的各项相乘，包含两端。
分数相乘时，可以把所有分子相乘、所有分母相乘，再约去共同的非零因子。
分子的 2、3、4 各与分母同一个数配对。不是“中间的分数消失了”，而是每一对相同非零因子的商等于 1。
以 k＝4 为例：1 − 1/16＝15/16，而 15＝3×5。因此这一项可以写成 (3/4)×(5/4)。为什么换别的整数也成立？
这里是把乘法分配到括号内，两个相反的 k 抵消。因此 k≠0 时：
原来每项都有减号，现在成为两个分数因子的乘积。有限乘法允许重新分组：把所有 (k−1)/k 放在一组，把所有 (k＋1)/k 放在另一组，各自约分。
对整数 2≤m≤n，第一链从 (m−1)/m 到 (n−1)/n，剩 (m−1)/n；第二链从 (m＋1)/m 到 (n＋1)/n，剩 (n＋1)/m。因此：
m＝n 时也成立，只是单项分解，没有链内相消。若起点为 1，原式含 1−1/1²＝0，乘积为 0；不能为了“倒数链”去除以 k−1＝0。起点为 0 时原式无定义。本页只处理起止明确的有限乘积。
计算从 k＝2 到 10 的连乘 (1−1/k²)。
合理性检查：每项介于 0 和 1 之间，乘积也应在 0 与 1 之间。这只能发现部分错误，不能替代精确计算。
计算从 k＝3 到 8 的连乘 (1−4/k²)。
两链的 3、4 等数可能在不同位置出现多次。每次约分只消掉一对，不能看见同一个数就把所有位置都划掉。“跨两格”指因子编号相差 2，不代表只算两项。
先展开首尾，再打开解析。以下题目均为本页自拟。
计算从 k＝4 到 9 的连乘 (1−1/k²)。为什么不能直接套 1/9×10/2？
仍拆为两链。第一链 (3/4)×(4/5)×…×(8/9)＝3/9＝1/3。第二链 (5/4)×(6/5)×…×(10/9)＝10/4＝5/2。相乘得 5/6。
起点为 4，两链保留的起端分别是 3 和 4，不是 1 和 2。公式中的 m 必须随起点改变。
计算 (2/4)×(3/5)×(4/6)×(5/7)×(6/8)×(7/9)。有人只保留 2/9，哪里漏了？
合并为 (2×3×4×5×6×7)/(4×5×6×7×8×9)。共同因子 4、5、6、7 各约去一对，剩 (2×3)/(8×9)＝1/12。
分子和分母相差两格，前端剩 2、3，后端剩 8、9。只保留 2/9 漏掉了 3/8，不能凭“只剩首尾”猜答案。
从 k＝1 到 5 连乘 (1−1/k²)，结果如何？
第一项为 0，其余项有定义，故乘积为 0。无需也不能把零因子作为除数约去。零因子不会让整个乘法无定义；零出现在分母才会使表达式无定义。
(2＋3)/(2＋5) 不能约去两个 2 得 3/5。实际为 5/7。只有整体已写成乘法因子，才能约共同非零因子。
(2×3)/(2×5)＝3/5，因为分子分母都有非零因子 2。对长链要记录每个因子出现的次数。
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从二到五，连乘一减去k平方的倒数。先别急着算，四项里藏着两条约分链。
看k等于四这一项。一减十六分之一，等于十六分之十五。十五又等于三乘五。
所以它等于四分之三，乘四分之五。一般地，k减一乘k加一，展开就是k平方减一。
每项都这样分解。把较小的分子放进第一链，较大的分子放进第二链，分母都保留k。
这只是交换、结合乘法因子，没有改变乘积。注意，减号两侧不能直接约分。
第一链，分子分母的二、三、四，分别配成一对。它们都非零，每对约分后等于一。
第二链，三、四、五也分别配对。每次只约去一对，不能看到同一个数就全部划掉。
第一链剩五分之一，第二链剩二分之六。两链相乘，得到五分之三。
把终点延伸到十，第一链剩十分之一，第二链剩二分之十一，乘积就是二十分之十一。
如果起点改成一，第一项就是零，整串乘积为零。零不能当除数约去。先查条件，再找约分链。
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