例题一 · 同基准的余量对应
两次都按原量取用
一批粮食，第一次用去原总量的1/3，第二次用去原总量的2/5，剩96千克。求原总量。
- 标基准：两个分率都是“原总量的”，所以可以相加。
- 找余率：1−1/3−2/5=15/15−5/15−6/15=4/15。
- 配成同一部分：剩余96千克 ↔ 原总量的4/15。
- 求单位1：96÷(4/15)=96×15÷4=360千克。
代回：第一次360×1/3=120千克，第二次360×2/5=144千克，360−120−144=96千克，与条件一致。
分数比与应用题 · 方法讲解
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量率对应法
先统一单位“1”，让数量和分率指向同一部分。
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01
剩下的96千克，对应哪个分率？
一批粮食，第一次用去原总量的1/3，第二次用去原总量的2/5，最后剩96千克。原来有多少千克？两次用量都以原总量为基准。
第1步 / 共5步：锁定原总量
整条分成15个等量份，每份是原总量的1/15。总量暂时未知。
原总量 = 单位1 = 15份
本题演示结论
360千克
4份对应96，15份对应原量。
余量和剩余分率必须表示同一部分，才能用96÷(4/15)。第一次和第二次用去不同部分，可以相加；二者都基于同一原总量。
15格为等量份数示意，不代表15袋不可拆分的粮食。灰色表示第一次，棕色表示第二次，绿色表示最后剩余。
02
学习目标与必要前置
学完能做什么
- 给每个分率补上“谁的”，确定单位1。
- 从和、差、剩余中找出隐藏的量率对应。
- 把“剩余的几分之几”换成“原总量的几分之几”。
- 用数量÷对应分率求基准量，并代回检查。
先会这些
分数加减乘除、通分、分配律，以及“一个量的a/b等于这个量乘a/b”。本页自拟题以非负、可分割的量为模型。
S班表示本项目的教学深度，着重隐藏对应与单位1切换，不代表已核实的官方年级或学期课纲。
03
量与率怎样一一对应
设原总量为W（W>0），某部分占原量的分率为r，部分量为Q，则Q=Wr。当r>0，反求基准量：
单位1的量 W = 对应量 Q ÷ 对应分率 r
“量率对应”不是看见分数就相除。Q和r必须说的是同一部分，而r必须相对于所求的基准量W。96千克是剩余量，不能除以第一次的1/3。
和、差与剩余，来自分配律
| 已知的量 | 对应分率 | 条件 |
|---|---|---|
| 两部分合计S | a＋b | 合计两部分不重复；S=W(a＋b) |
| 较多量比少量多D | a−b | a>b；D=W(a−b) |
| 用去两部分后的余量R | 1−a−b | 两部分无重叠且a＋b≤1 |
例如D=Wa−Wb=W(a−b)，所以W=D÷(a−b)。自拟差量小题：两人各从同一批粮食中取原量的5/12和1/4，前者比后者多42千克。差率5/12−1/4=1/6，因此原量42÷(1/6)=252千克；105−63=42核对成立。
“剩余的b”先换算，再与原量比较
先用原量的a，第一次剩余为W(1−a)。再用“第一次剩余的b”，第二次用量为W(1−a)b，因此它占原量的(1−a)b。最后剩余：
R = W(1−a)(1−b)
W = R ÷ [(1−a)(1−b)]
W = R ÷ [(1−a)(1−b)]
这里a、b均在0到1之间。若要求由正余量反推W，还必须a<1、b<1，使对应分率非零。若对应分率为0却给正数量，条件矛盾；若量和率都为0，则不能由0÷0求出总量。
04
完整例题：同基准与换基准
本页全部例题与练习均为自拟教学题。
例题二 · S班结构变式：剩余量再作单位1
只改三个字，为什么不能沿用差率？
另一批粮食，第一次用去原总量的1/3，第二次用去第一次剩余的2/5，最后剩72千克。求原总量。
- 确认新基准：第一次剩余占原量2/3。第二次分率2/5的单位1是这份剩余。
- 统一到原量：第二次用掉原量的(2/3)×(2/5)=4/15。
- 得到最后余率：1−1/3−4/15=6/15=2/5。也可连续相乘：(1−1/3)(1−2/5)=2/5。
- 配对求原量：72千克 ↔ 原量2/5；72÷(2/5)=180千克。
代回：第一次用180÷3=60千克，剩120千克；第二次用120×2/5=48千克，最后120−48=72千克。
也可倒推：最后72千克占第一次剩余的3/5，所以第一次剩余72÷(3/5)=120千克；它又占原量2/3，故原量120÷(2/3)=180千克。每次相除时，要说清当前求的是哪一个单位1。
05
迁移练习：先写对应，再计算
练习一 · 和量里找单位1
一批书，甲班领走原总数的3/8，乙班领走原总数的1/4，两个班合计领走150本。没有重复领书，原来有多少本？
展开完整解析
两分率基准都是原总数，合计分率3/8＋1/4=5/8。150本对应5/8，原总数150÷(5/8)=240本。代回：甲90本，乙60本，90＋60=150本。这里150是已领的和量，不能除以剩余的3/8。
练习二 · 两次剩余的隐藏对应
一条绳子，先剪去全长的2/7，再剪去剩余长度的3/5，最后剩80米。原长多少米？每次剪下部分不再参与下一次。
展开完整解析
第一次剩原长5/7，第二次后保留该段的2/5，所以最后剩原长(5/7)×(2/5)=2/7。80米对应2/7，原长80÷(2/7)=280米。
核查：先剪80米，剩200米；再剪200×3/5=120米，最后200−120=80米。两次出现80米分别是第一次剪去量和最终剩余量，数值相同源于本题分率，不是通用规律。
边界追问 · 条件够吗？
只知道“用去一批粮食的1/3，又用去另一批粮食的2/5，两次共用150千克”，能求第一批原量吗？
展开判定依据
不能唯一确定。两个分率基于不同总量，不能把150除以1/3＋2/5。比如第一批90、第二批300，两次量30＋120=150；第一批210、第二批200，两次量70＋80也为150。还需要两批总量之间的关系。
06
易错与回顾
| 容易出错 | 应怎样检查 |
|---|---|
| 看见96就除以1/3 | 96是剩余量，应配剩余分率。 |
| “剩余的2/5”当成“原量的2/5” | 先乘第一次剩余占原量的分率。 |
| 两个分率都小于1就能相减 | 必须基于同一单位1，还要检查对象与重叠。 |
| 正余量除以零分率 | 条件矛盾；量率同为零也无法确定总量。 |
四步回顾：标单位1 → 找已知量对应哪一部分 → 统一分率再相除 → 把答案代回原题。复杂往往藏在“谁的几分之几”，而不是除法本身。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击标题，定位到视频中的对应章节。
一批粮食，先用原量的三分之一，再用原量的五分之二，剩九十六千克。原有多少？
先把原有总量看作单位一。图中十五块等量筹码，每块都是原量的十五分之一。
三分之一是十五分之五，五分之二是十五分之六。两次都以原量为基准。
用掉五份和六份，还剩四份。这四份，对应九十六千克。
一份是二十四千克，十五份就是三百六十千克。数量除以对应分率，就得到单位一。
现在换一道题：先用原量的三分之一，再用剩余的五分之二，最后剩七十二千克。
注意，这次的五分之二，以第一次剩余量为单位一。它不是原量的五分之二。
第一次后剩十份。把十份再平均分成五组，第二次用其中两组，也就是四份。
换回原量作基准，第二次用十五分之四，最后剩十五分之六，也就是五分之二。
七十二除以五分之二，得原量一百八十千克。不能直接用一减三分之一再减五分之二。
求和、求差、求剩余，都要先统一单位一。已知的量，必须与分率表示同一部分。
先找基准，再找对应，最后相除。算完代回：一百八十，先用六十，再用四十八，剩七十二。
08
学习与图示说明
题目与图示由本页自拟；数学依据为分数乘法与分配律，计算已用精确分数核对。分率与数量的对象关系仍需结合题意判断。
动画用15块等量筹码表示原总量，厚度只为区分筹码；两道粮食题分别计算。页面正文不依赖视频或脚本。