计算与数列 · 方法讲解
先数总位置，再按周期分块。
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按2、5、1、4、3、6不断循环，从左到右逐行填表，每行8格。求第26行第5格的数，以及从首格到该格的所有数之和。
分步演示 · 两种分组，不能混在一起
先按“每行 8 格”数位置，再按“每块 6 项”看周期。点击逐步展开同一道题。
目标是第 26 行第 5 格。前面完整的行有 25 行；还没有开始按周期分组。
演示结论
2；和716
先按行宽8定位，再按周期6分块。
前面已有25个完整行。周期必须由规则保证；余数为0对应周期末项，不存在“第0项”。
把二维位置还原成一条数串
重复的不是“眼前几个数”，而是一条已经确定的规则。先确认周期，再把位置数对，最后处理余下的部分。
六年级旧知深化结构识别 · 边界 · 迁移S班表示本项目的教学深度，不是地区或机构官方分班课纲。
会整数除法及余数，会数一段连续位置的项数，理解“前面已经填满了几行”。本页的位置、行号和列号都从 1 开始。
先检查：第 2 行第 1 格之前，有几格？每行 8 格时是 8 格，所以这一格的总序号是 9。
本页主要研究题目明确规定“按 2、5、1、4、3、6 不断循环”的数串。每过 6 个位置，数值按相同次序重新出现。这样的 6 项重复块称为一个周期块，长度为 6。
一般地，周期长度为正整数 p，表示对所有正整数 n，第 n＋p 项与第 n 项相同。可用的周期不一定最短；只要确实成立，就能分组。本例六个数互不相同，所以 1 到 5 都不可能是周期长度，最短周期为 6。
只给出 2、5、2、5，后面可以继续 2、5，也可以从第 5 项起全是 9。这两条数串前四项相同。没有补充规则，就不能唯一确定第 100 项。
把前 n 项分为 q 个完整周期，另余 r 项：
例如第 12 项：12 = 2×6，是第二块的末项 6；第 13 项才回到 2。也可用统一位置写法：周期内位置 =（n−1 除以 p 的余数）＋1。
设一周期的和为 T，前 r 项的和为 P(r)，并约定 P(0)=0。前 n 项和记作 S(n)，S(0)=0，则：
这是把前 n 项不重不漏地分成整块和尾巴：本例 T = 2＋5＋1＋4＋3＋6 = 21。余数为 0 时尾巴为空，求和加 0；这与“第 n 项是周期末项”并不矛盾。
周期必须由题目给定或由规则证明；填表方向和每行格数必须确定。本页数表均从左到右、填完一行再填下一行，行宽固定。蛇形填表、递增方阵、周期开始前还有一段不同的数，都需要重新处理位置或起点，不可直接套本页式子。
按 2、5、1、4、3、6 循环，从左到右逐行填入每行 8 格的表。第 26 行第 5 格是什么？从第 1 格到该格（包含该格）的所有数之和是多少？
通用转换：每行 w 格时，第 a 行第 b 格的总序号是 (a−1)×w＋b，其中 a≥1，1≤b≤w。
因为换一行并不是前进 1 项，而是前进 8 项。第 1 行第 1 格是第 1 项 2，第 2 行第 1 格是第 9 项 1。两格列号相同，值却不同；必须先合成总序号。
仍用例题一的数串和每行 8 格的填法。在前 30 行的第 4 列中，哪些格子是 6？一共有几个？
| 行号 | 总序号 | 周期位置 | 数值 |
|---|---|---|---|
| 1、4、7…… | 4、28、52…… | 4 | 4 |
| 2、5、8…… | 12、36、60…… | 6 | 6 |
| 3、6、9…… | 20、44、68…… | 2 | 5 |
结构结论：行图案的重复取决于“跨过的格数能否凑成整周期”。本例中找最小正整数 t，使 8t 是 6 的倍数，得到 t=3。不能直接把行周期也写成 6。
这里证明的是本题的行图案。其他数串如果有重复数值，某一列的数值可能更早重复；还需根据具体规则核对，不能只看一次碰巧相同。
数串仍按 2、5、1、4、3、6 循环。求第 50 项到第 80 项（含两端）的和。为什么不能用 S(80)−S(50)？
这一段有 80−50＋1=31 项。前 80 项包含前 49 项和目标段，因此目标和是 S(80)−S(49)。
80=13×6＋2，所以 S(80)=13×21＋(2＋5)=280。49=8×6＋1，所以 S(49)=8×21＋2=170。
目标和为 280−170=110。若减去 S(50)，会把需要保留的第 50 项也扣掉。第 50 项是 5，错误结果为 105。
也可以把从第 50 项起的数重新分组：每 6 项仍遍历同一周期，只是顺序从 5 开始。31=5×6＋1，得到 5×21＋5=110。
同一数串改为每行 10 格，仍从左到右逐行填。第 90 项在第几行、第几列？该格是什么？从第 1 项到第 90 项的和是多少？
90=9×10，正好填满 9 行，所以位置是第 9 行第 10 列，不是第 10 行第 0 列。
按周期分组：90=15×6，余数为 0，说明第 90 项是周期第 6 项，即 6。前 90 项恰有 15 个完整周期，和为 15×21=315，没有额外尾项。
统一的反向转换是：行号为“n−1 除以 w 的整数商”再加 1；列号为“n−1 除以 w 的余数”再加 1。本题 89=8×10＋9，故为 9 行 10 列。
| 容易误用 | 正确检查 |
|---|---|
| 看到两次重复就认定周期 | 问：题目是否给定循环？能否由规则证明一直重复？ |
| 余数 0 对应第 0 项 | 定位取周期末项；求和的剩余部分才为空。 |
| 总序号 = 行号×行宽＋列号 | 当前行还没填完，完整行数是行号−1。 |
| 行号与列号分别取余 | 先合成总序号；行距对应“行宽×行数”的步长。 |
| 第 L 到 R 项和 = S(R)−S(L) | 减去 S(L−1)，保留第 L 项；L=1 时减 S(0)=0。 |
例题一据项目审核题整理；例题二、练习与反例为本页自拟，均按明确给定的周期规则推导。项目来源汇总中的公开目录只支持主题范围；当前汇总未列出直接对应本页的周期定位权威数学专页，故不虚构引用。数学依据为本页给出的整数带余除法、分组与位置计数证明。查看项目来源与证据边界。
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题目规定：2、5、1、4、3、6不断循环。每六项是一块。
只看见几项相同，不能证明后面一直循环。先确认规则。
每行八格，从左到右逐行填。怎样找第26行第5格？
前面有25个完整行，再走5格。总序号是25×8＋5，等于205。
现在改按六项分块。205等于34×6＋1。
前204项组成34个整周期。剩下一项，是新周期的第1项：2。
看第12项：正好走完两块。余数为0，落在块的末项6。
没有第0项。第13项才进入下一块，重新回到2。
求累计和，也用这34块。每块六个数的和是21。
34×21得714，再加尾巴2，得到716。先数位置，再按周期分组。
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