例题一｜两种票允许零张
四元票 x 张、七元票 y 张，共60元，x、y 为非负整数。求所有买法。
- 由7y≤60，得 y＝0、1、…、8。
- 4x＝60−7y。右侧被4整除，当且仅当 y 被4整除，所以 y＝0、4、8。
- 逐一计算 x：(60−0)/4＝15；(60−28)/4＝8；(60−56)/4＝1。
- 得到有序对 (15,0)、(8,4)、(1,8)，共3组。验算为60＋0、32＋28、4＋56，都等于60。
若要求两类都至少1张，只保留后两组，共2组。不能在数非负解时提前排除零。
数论与整数方法
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不定方程的整数解
范围定边界，余数定步长，再代回数解。
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01
六十元的票，怎样不重不漏地找？
自拟题：四元票买 x 张，七元票买 y 张，共花60元，两类均允许买零张。求所有非负整数解，即 x≥0、y≥0 且都是整数。每一组 (x,y) 是一种买法。
4x＋7y＝60
第1步 / 共5步：先确定范围
7y≤60，所以 y 只能取0到8，共9个整数候选。x 随 y 唯一确定。
012345678
对应左侧当前步骤
先缩小范围
9个候选
这里的9表示 y 的候选数，还不是合法解数。下一步利用余数条件筛掉不可能的数量。
票面矩形只表示一张票，不以面积表示价格；交换只在整数端点计数。
02
学习准备与范围
学会给变量设整数范围，用整除与余数压缩枚举，并解释答案为什么不重不漏。前置：一元一次方程、整数四则运算、整除、除法余数、最大公因数。若尚未学习负整数，可先完成买票模型；一般整数边界可后读。
本页仅讨论两个未知数的一次整数条件，主要形式 ax＋by＝c，其中 a、b、c 是给定正整数。x、y 的范围由题意另定。本页不覆盖二次、高次或一般不定方程。
S班是本项目的深度编排，涉及余数筛选与带下限的数解，不代表已核实的当地官方六上必学课纲。
03
余数如何把连续尝试变成等步长？
先分清三种范围
“整数”允许负数与0；“非负整数”包含0、排除负数；“正整数”从1开始。一个方程可能有无穷多整数解，却只有有限多个非负整数解。买票、人数等数量通常另有非负或正数条件。
一、范围使枚举有限
在 ax＋by＝c 中，若 a、b>0 且 x、y≥0，则 by≤c，所以 0≤y≤⌊c/b⌋。符号 ⌊u⌋ 表示不超过 u 的最大整数。选定 y 后，x＝(c−by)/a，不需要同时盲试两个变量。
二、余数保证 x 是整数
要使 x＝(c−by)/a 为整数，必须且只须 c−by 能被 a 整除。买票题中，60与4x都能被4整除，所以7y也必须能被4整除。因为7＝4＋3，只须判断3y的余数。
| y除以4的余数 | 3y除以4的余数 | 是否保留 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 保留 |
| 1 | 3 | 排除 |
| 2 | 2 | 排除 |
| 3 | 1 | 排除 |
因此 y 只能是4的倍数，在0到8内只剩0、4、8。记作 y≡0（mod 4），意思是 y 除以4余0。不是“看到7就令 y 是7的倍数”，筛选的除数来自要消去的4x。
三、代回与完整性
对保留的每个 y 计算 x，再检查所有范围和附加条件。任一合法解必落在已列的范围内，也必通过整除条件，所以不会漏掉；每个 y 只决定一个 x，所以不会重复。
S班结构：解为什么有固定步长？
对于两个解 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)，两式相减得 a(x₂−x₁)＝−b(y₂−y₁)。设 d 是 a、b 的最大公因数，约去 d 后两个系数互质，所以 y 的差必须是 a/d 的倍数，x 的差相应为 −b/d 的倍数。本页主例中 d＝1，得到步长 Δy＝4、Δx＝−7。
x＝15−7t，y＝4t，t 为整数
非负条件给 t≥0、t≤15/7，因此 t＝0、1、2，共3组。这里 t 表示交换次数，不是新增未知物品。若允许所有整数，任意整数 t 都成立，就有无穷多组。
04
完整例题：从基本枚举到带下限数解
例题二｜不同的下限，不能只看余数
6元笔记本 x 本、10元笔记本 y 本，共花86元。6元本至少2本，10元本至少1本，问共有多少种买法？
- 写条件：6x＋10y＝86，x≥2、y≥1，且均为整数。约去2，得3x＋5y＝43。
- 利用下限限范围：6x至少12元，所以10y≤74，得1≤y≤7。不能只用 y≤8 后忘记 x≥2。
- 按3筛选：43除以3余1，5y与2y的余数相同，故2y除以3余1，只有 y 除以3余2时成立。范围内 y＝2、5。
- 代回：y＝2时 x＝(43−10)/3＝11；y＝5时 x＝(43−25)/3＝6。
- 核查所有条件：两组 (11,2)、(6,5) 均满足 x≥2、y≥1，原式分别为66＋20＝86、36＋50＝86。因此共2种。
如果只解约分后的方程，还会看到 (1,8)。它满足等式，却违反 x≥2，不能计入。相邻合法解的 x 减少5、y增加3，价值变化均为30元。
05
迁移练习：先写范围，再展开解析
例题与练习均为本页自拟教学题。
练习一｜零解与正解的差别
求5x＋8y＝64的所有非负整数解。如果改成正整数解，有几组？
查看完整解析
0≤y≤8。8y除以5的余数要与64相同，即3y除以5余4。检查余数可得 y 除以5余3，所以 y＝3、8。
代回 x＝(64−8y)/5：y＝3时 x＝8；y＝8时 x＝0。非负整数解为(8,3)、(0,8)，共2组。验算40＋24＝64、0＋64＝64。改为正整数时，去掉 (0,8)，仅剩1组。
练习二｜还值得逐个试吗？
求6x＋10y＝7的整数解。若改成非负整数解，结论会改变吗？
查看完整解析
6x和10y都是2的倍数，即使 x、y 是负整数，左边仍为偶数。右边7为奇数，因此没有整数解。非负整数只是整数的一部分，也没有解。
先查最大公因数：6与10的最大公因数是2，而2不能整除7，已足以判无解，无须设置很大的试数表。
06
易错、反例与回顾
- 有两个未知数不等于无法求解。限制为整数后，余数和范围会把候选大幅减少。
- 只找到一组不等于找全。需要范围穷尽、必要筛选与逐一代回的完整性说明。
- 整除条件通过不等于满足数量条件。例二的 (1,8) 满足等式，却违反下限。
- 不能随意约去不互质的系数。“6y被4整除”只推出 y 为偶数，不是4的倍数；例如 y＝2 时6y＝12可被4整除。
- 固定步长不自动给出有限数量。只有题意给出非负或有界条件，才能据此数有限解；负系数也可能破坏上界推法，例如 x−y＝1 有无穷多非负整数解。
确定整数种类与附加条件 → 用范围划定候选 → 用整除余数压缩 → 代回检查 → 说明不重不漏。要数解，先回答“哪些值可取”，再回答“每个值是否合格”。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
四元和七元的两类票，共花六十元，各买多少张？设张数为 x 和 y，允许零张。
七元票最多八张。先把 y 限定为零到八的整数，避免漫无边际地试。
总价六十和四元票的钱都是四的倍数，所以七倍的 y 也必须是四的倍数。
七除以四余三。检查 y 的四类余数，只有余零时合格。因此只试零、四、八。
逐个代回，得到十五和零、八和四、一和八。三组都满足总价六十元。
范围已经穷尽，余数筛选又是必要条件。每个合格的 y 只对应一个 x，所以不重不漏。
看相邻两组解：七元票增加四张，四元票减少七张。两边都变化二十八元。
整数解沿固定步长移动。继续走到负数，就越过了买票数量的边界。
若两类票都至少一张，十五和零要删去，只剩两组。整数解不等于正整数解。
还要先看能否整除。例如六倍 x 加十倍 y 等于七，左边必为偶数，所以无整数解。