都在基准左侧
x = b − u，y = b − v，其中 u、v ≥ 0。
y − x = u − v
u > v 时，x < y。也就是缺得越少，原数越大。例如真分数距 1 越近，分数越大。
计算与数列 · 方法讲解
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基准数法比较分数
换看距基准的差，再回到原数。
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01
缺得更少，为什么反而更大？
比较 99/100 与 199/201。两数都小于1，用同一个基准1，分别看它们距离1还差多少。 位置块只表示结构，不按长度比例绘制。
991001 − 1100
基准 1
1992011 − 2201
第 1 步 / 4：两数都小于 1。比较 99/100 与 199/201，可以转向比较它们距 1 的缺额。
演示结论
99/100
小于199/201。
同在1下方：缺额越小，原数越大。
缺额分别是1/100和2/201；前者更大，原数更小。只有相对于同一基准、并确认方向，才能这样比较。
02
学习目标与必要前置
围绕同一个参照，判断方向
不急着通分。先问：它们离哪个数近？在这个数的哪一侧？
S班是本项目的教学深度编排，并非地区或机构官方课纲。适合已熟练掌握分数四则运算的学习者。
学完要能做到
- 从 0、1、12 或其他共同基准中作出选择，并说明理由。
- 先判断两数相对基准的位置，再决定差额的比较方向。
- 用作差或正倒数核验结论，找到规则的适用边界。
先会这些
分数的意义、约分与通分；同分母比较；分数加减与除法；数轴上右侧的数更大。
本页分母均不为零，书写分数时默认分母为正。负分母应先把负号移到分子。
03
原理：减去同一个数，顺序不变
设待比较的数为 x、y，共同基准为 b。因为 (x − b) − (y − b) = x − y，所以比较 x、y，等价于比较它们的带方向差额 x − b 与 y − b。
都在基准右侧
x = b + u，y = b + v，其中 u、v ≥ 0。
y − x = v − u
u > v 时，x > y。也就是多得越多，原数越大。不能机械沿用左侧的反向关系。
分居基准两侧时，先比较位置。
x < b < y 直接推出 x < y。仅比较无方向的距离 |x − b| 与 |y − b| 不足以比较原数。例如 25 与 35 离 12 同样远，却不相等。
怎样选择基准？
- 0：一正一负时先看符号，通常无需通分。
- 1：分子接近分母时，计算“分母减分子”形成的缺额。
- 12：两倍分子接近分母时，差额通常很小。
- 其他共同基准：若两数都接近同一个容易计算的数，也可使用；没有简化作用时直接通分或作差。
为什么正数取倒数会反向？
若 0 < x < y，则 xy > 0，而且 1/x − 1/y = (y − x)/(xy) > 0，故 1/x > 1/y。这里分子和分母的正负都已确定。
本页倒数核验限定为正数；0 没有倒数。跨零不能套用反向规则：−12 < 13，但倒数 −2 < 3，并未反向。
04
完整例题：从选择基准到精确差值
例题一 · 两个都接近 1，谁更大？
比较 99100 与 199201，并说明较大数比另一个大多少。
- 两数都是正真分数，分子很接近分母。选择共同基准 1，两数都在 1 左侧。
- 完整计算缺额：1 − 99100 = 1100；1 − 199201 = 2201。
- 通分比较小差额：1100 = 20120100，2201 = 20020100。前者缺额较大，所以原数较小。
- 差额的差就是原数的差：199201 − 99100 = 1100 − 2201 = 120100。
答案：99100 < 199201，相差 120100。
独立核验：直接通分原数，分别为 1989920100 与 1990020100。不要用四舍五入后相同的小数证明相等。
例题二 · S班结构变式：为什么选一半？
比较 5099 与 51101，求差，并用正倒数核验。
- 两个分子的 2 倍都比分母多 1：100 − 99 = 1，102 − 101 = 1。相对 1/2 的差额结构相同，适合选 12。
- 5099 = 12 + 1198；51101 = 12 + 1202。两数都在基准右侧。
- 同为单位分数，分母越小越大，所以 1198 > 1202。原数也同向：5099 > 51101。
- 求差：1198 − 1202 = 4/39996 = 19999。
- 正倒数核验：9950 = 2 − 150，10151 = 2 − 151。因 150 > 151，前一个倒数较小，故原来的 5099 较大，与结论一致。
答案：5099 > 51101，相差 19999。
进一步：这是偶然的数字巧合吗？
令 n 为正整数，(n + 1)/(2n + 1) = 1/2 + 1/[2(2n + 1)]。随着 n 增大，右侧多出的正数变小，因此整个分数变小，同时始终大于 1/2。例题分别对应 n = 49、50。结论来自相同结构，不来自“数字都变大”。
05
迁移练习：先说基准，再动笔
练习一 · 换到基准的右侧
比较 101100 与 203201，求较大数与较小数的差。为什么不能照搬“缺额越小原数越大”？
查看完整解析
- 选 1，两数都大于 1：分别为 1 + 1100 与 1 + 2201。
- 1100 = 20120100 > 20020100 = 2201。右侧的超出量越大，原数越大。
- 故 101100 > 203201，差 120100。这里比较的是超出量，不是左侧缺额。
练习二 · 需要先算距离吗？
比较 4897 与 4997；指出一个可用基准并求差。若只比较离基准的距离，会出现什么问题？
查看完整解析
- 可选 12，因为 2 × 48 < 97 < 2 × 49。
- 4897 = 12 − 1194；4997 = 12 + 1194。它们分居两侧，故 4897 < 4997。
- 差为 1194 + 1194 = 197。无方向的距离相同，不能推出原数相等。
- 更短的核验：两数同分母，分子相差 1，所以后者大 197。基准法有助于解释结构，但不是每题都比直接比较更短。
06
易错对照与简要回顾
分子、分母都大，分数就大？
反例：例题二中 51 > 50、101 > 99，却有 51101 < 5099。要比较整体比值。
比较“差几个”就够了？
例题一的缺额是 1100 和 2201，不能只看分子 1 和 2；差额必须作为完整分数比较。
“离基准近”不自动意味着“数大”。在左侧：近的较大；在右侧：远的较大；分居两侧：右侧较大，与距离无关。
- 观察结构，选择一个共同基准。
- 标明每个数在基准的哪一侧。
- 完整计算差额，按方向还原大小。
- 用同分母、直接作差或正倒数复核；求差时保留精确分数。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
比较 99/100 与 199/201。先选共同基准 1。
同一个整体，两数都小于 1，都在基准左侧。
1 − 99/100 = 1/100；1 − 199/201 = 2/201。
把靠近 1 的末端放大；两行使用同一刻度。
1/100 = 201/20100；2/201 = 200/20100。
201 > 200。左侧缺得越多，原数越小。
199/201 − 99/100 = (201 − 200)/20100 = 1/20100。
换到右侧：101/100 = 1 + 1/100；203/201 = 1 + 2/201。
右侧超出量越大，原数越大。先判方向，再比较差额。
08
学习与图示说明
S班表示本项目的教学深度；A/S编排不代表佛山南海或任何机构已核实的官方分班课纲。
下载讲解视频 · 整条图与局部放大图的比例不同；加粗标记不代表长度。