例题一 · 通项与奇数项配对
求 5＋8＋11＋…＋65 的和
题目约定相邻项都增加3，最后一项为65。
- 确定项数：(65−5)÷3=20个间隔，因此共21项。末项核查：5＋20×3=65。
- 倒序相加：正序5、8、…、65，倒序65、62、…、5，每列和70，共21列，2S=70×21。
- 得到答案：S=70×21÷2=735。
另一种核对：原串配成10对，每对70；中间第11项为5＋10×3=35。因此10×70＋35=735。不能只数10对就丢掉35。
计算与数列 · 方法讲解
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等差数列与倒序相加
把变化配成不变，先数清项数。
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01
奇数项，也能完整地配对
求 3＋6＋9＋12＋15。每格代表一项，不表示长度或面积。把同一串数倒过来，再观察上下两排。
第1步 / 共4步：原数列
3691215
相邻差为3，共5项；目标是求 S=3＋6＋9＋12＋15。
演示结论
45
五列各为18，两排合计90。
两排是2S，最后要除以2。
五项只有四个间隔。中间的9在两排各出现一次，既没有漏算，也没有单独多算。
02
学习目标与必要前置
看见间隔，再看见配对
一串数的和，常常不用逐项相加。先把“位置”与“数值”分清，再用首尾对应把变化变成不变。
A/S 是本项目的教学深度编排，不是官方分班课纲。本页用于六年级能力训练，不限定首次学习学期。
学完能做什么
- 判断相邻差是否固定，说明省略号所代表的规则。
- 用间隔数推导通项、项数，并核查末项。
- 解释倒序相加为何对奇数项也成立。
- 把等间隔位置的抽取、删除转化为新的等差数列。
先会这些
整数四则运算、乘法分配律、用字母表示数，以及“从第1个到第5个之间有4个间隔”。本页正向例题用正整数；边界会讨论递减与常数数列。
03
三条公式，来自同一个间隔模型
先确认：每一步都加同一个数
相邻两项的后项减前项都等于同一个数 d，称为等差数列，d 是公差。例如 7、11、15、19，每次加4。仅看到几个数不能确定无限多项的规则；题目必须给出或保证后面也按此规律。
设首项 a，有限项数 n，末项 b，第 k 项记作 ak，其中 n、k 是正整数且 1≤k≤n。从第1项走到第 k 项，要走 k−1 个间隔：
ak = a＋(k−1)d
于是 b=a＋(n−1)d。当 d≠0 时：
n = (b−a)÷d＋1
先除得到的是间隔数，再加1得到项数。算出的 n 必须是正整数。比如首项7、公差4，203对应50项；202则不是这一数列的项，不能把项数四舍五入。
把同一串数倒过来，再加一次
记原和为 S。正序与倒序上下对齐，每列都等于 a＋b：第 k 项往前增加了 (k−1)d，它的配对项恰好从末项减少了同样多。共 n 列，所以：
2S = n(a＋b)，S = (a＋b)×n÷2
这是把整串数复制一遍后配对，不是要求原来必须有偶数项。若有奇数项，中间项在上下两排各出现一次，仍然计入2S；例如7、11、15的中项11，与自己相加正好等于首尾和22。
04
完整例题：先定位，再求和
例题二 · S班结构变式：等间隔删除
7、11、15、…、203，删去第3、6、9、…项，求余下各项之和
- 数清原串：公差4，项数(203−7)÷4＋1=50，总和(7＋203)×50÷2=5250。
- 先列删去的序号：3、6、9、…、48。因为48是50以内最大的3的倍数，删16项；第50项203并未被删。
- 把序号换成数值：第3项为7＋2×4=15；第48项为7＋47×4=195。相邻被删位置相差3，所以对应数值相差3×4=12。删去的数是15、27、39、…、195，仍是等差数列。
- 求删去部分：(15＋195)×16÷2=1680。
- 补集求和：余下和=5250−1680=3570。
难点是识别结构：删除后剩下的数相邻差会在4与8之间变化，不是一个等差数列。因此不能直接把剩余首项、末项和34项套进公式。先求整体再减去规则部分，计算更清楚。
为什么“每隔固定位置抽取”仍等差？
抽取位置 r、r＋q、r＋2q、…（均在原范围内），原数值每跨一个位置增加 d，跨 q 个位置就增加 qd。新首项为 a＋(r−1)d，新公差为 qd。先确定最后一个合法位置，再计算项数；不默认末项也被选中。
05
迁移练习
以下例题与练习均为本页自拟教学题。先写出“我求的是哪些位置”，再展开解析。
练习一 · 只保留某类位置
数列4、9、14、…、149中，只保留第2、5、8、…项。保留多少项？它们的和是多少？
展开完整解析
原数列公差5，项数(149−4)÷5＋1=30。保留位置2、5、8、…、29，共(29−2)÷3＋1=10项；下一位置32超出30。
第2项9，第29项4＋28×5=144，新公差为3×5=15。保留和=(9＋144)×10÷2=765。
核查：数值9、24、39、54、69、84、99、114、129、144，相邻差均为15。位置间隔3不能误当作数值公差。
练习二 · 由两项反推整串
一个有限递增等差数列，第4项是17，第10项是41，末项是81。求首项、项数与总和。
展开完整解析
从第4项到第10项相隔10−4=6步，数值增加41−17=24，因此公差 d=24÷6=4。
第4项之前有3步，首项 a=17−3×4=5。末项81对应(81−5)÷4＋1=20项，正整数且5＋19×4=81，末项合法。
总和=(5＋81)×20÷2=860。首项为5，项数为20。不能把“第4到第10共7项”误用成7个间隔。
边界追问 · 末项能随便写吗？
“7、11、15、…、202”若宣称一直保持公差4，并恰好结束于202，条件是否一致？
展开判定依据
不一致。202−7=195不能被4整除，195÷4不是整数，所以不存在这样的末项。最后一个不超过202的合法项是199，对应49项。遇到非法末项先指出条件矛盾，不把项数取整后继续假装202存在。
06
易错对照与简要回顾
| 容易出错 | 正确判断 |
|---|---|
| 项数=(末−首)÷公差 | 这是间隔数，项数还要加1。 |
| 21项配成10对就结束 | 还剩中项；或用双排相加统一计算。 |
| 每3个位置抽1项，公差就是3 | 位置差3，数值差是3d。 |
| 删除后仍用首尾平均×项数 | 先核查剩余是否等差；可改求整体减删除部分。 |
| 算出的项数不是整数就取整 | 末项必须属于该数列；先检查条件。 |
解题顺序：定差 → 定位 → 数间隔再加1 → 核末项 → 配对求和。遇到删除与抽取，先在序号层找结构，再映射到数值层。
07
逐章回看
文字稿默认展开。点击章节标题，定位到视频中的对应讲解。
相邻差固定，才能用等差求和。先看七、十一、十五、十九、二十三。
五项只有四个间隔。末项减首项，除以公差，最后还要加一。
把同一串数复制一遍，再倒过来。两排各自的和，都等于原和。
上下每列都是三十，共五列。两倍的原和是三十乘五，原和就是七十五。
奇数项也没关系。中间的十五，在两排各出现一次，所以没有漏项。
现在看七、十一，一直到二百零三，共五十项。删去第三、第六、第九项，依此类推。
位置每次跨三步，数值就增加三个四，也就是十二。不要把位置差当成数值差。
最后删除第四十八项，而不是第五十项。删除的十六个数，从十五到一百九十五，仍然等差。
原数列总和五千二百五十，删除部分的和一千六百八十。相减得三千五百七十。
剩余数列不再等差。先求整体，再减去有规律的部分，比硬套公式更可靠。
08
学习与图示说明
S班表示本项目的教学深度；A/S编排不代表佛山南海或任何机构已核实的官方分班课纲。